Đề bài
Cho \(a = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Chứng minh rằng \({a^2} - 2a - 2 = 0\).
Giải:
\({a^2} = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}= 6 + 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
\( = 6 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}= 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2}\)
Do a > 0 nên \(a = \sqrt 3 + 1\).
Do đó \({\left( {a - 1} \right)^2} = 3\) hay \({a^2} - 2a - 2 = 0\).
Cho \(a = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Chứng minh rằng \({a^2} - 2a - 2 = 0\).
Giải:
\({a^2} = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}= 6 + 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
\( = 6 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}= 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2}\)
Do a > 0 nên \(a = \sqrt 3 + 1\).
Do đó \({\left( {a - 1} \right)^2} = 3\) hay \({a^2} - 2a - 2 = 0\).
Sửa lần cuối: