Kiến thức cần nhớ:
Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng $\left( d \right)$ và Parabol $(P):y = a{x^2}$ ta cần chú ý:
a) Nếu đường thẳng $\left( d \right)$ là $y = m$ (song song với trục $Ox$) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào $a{x^2} = m$.
b) Nếu đường thẳng $\left( d \right):y = mx + n$ ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là: $a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$
từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình $a{x^2} - mx - n = 0$ bằng cách xét dấu của $\Delta $.
Trong trường hợp đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đồ thị hàm số $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ thì $A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right),B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)$
khi đó ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} $.
Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm ${x_1},{x_2}$ ta đều quy về định lý Viet.
Chú ý: Đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc a đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thì có dạng: $y = a\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Ví dụ 1)
Tìm phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $I\left( {0;1} \right)$ và cắt parabol $(P):$ $y = {x^2}$ tại hai điểm phân biệt m và n sao cho $MN = 2\sqrt {10} $.
(Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2000-2001).
Lời giải:
Đường thẳng $\left( d \right)$ qua I với hệ số góc a có dạng: $y = ax + 1$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${x^2} = ax + 1 \Leftrightarrow {x^2} - ax - 1 = 0$ (1).
Vì $\Delta = {a^2} + 4 > 0$ với mọi a,
(1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$
hay $M\left( {{x_1};a{x_1} + 1} \right),N\left( {{x_2};a{x_2} + 1} \right)$.
Theo định lý Viet ta có:
$\begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = a,{x_1}{x_2} = - 1\$ .\$ MN = 2\sqrt {10} \\
\Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {a{x_2} + 1 - a{x_1} - 1} \right)^2} = 40\$ \$ \\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 40\\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 40\$ \$ \\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 4} \right) = 40 \Rightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = \pm 2\$ .
\end{array}$
Ví dụ 2:
Cho parabol $\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1$.
a) Với $m = 1$, xác định tọa độ giao điểm $A,B$ và $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.
b) Tìm các giá trị của m để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ sao cho $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2$.
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 – thành phố Hà Nội năm 2014).
Lời giải:
a) Với $m = 1$ ta có phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là:
$\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3$ (do $a + b + c = 0$)
Ta có $y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{9}{2}$.
Vậy tọa độ các giao điểm là $A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)$ và $B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là
$\frac{1}{2}{x^2} = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0$ (*)
Để $\left( P \right)$ cắt $\left( d \right)$ tại hai điểm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó $\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$
Cách 1:
Khi $m > - 1$ ta có: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4$
$ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4 \Leftrightarrow 8m = - 4 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.
Cách 2:
Khi $m > - 1$ ta có: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - b + \sqrt {\Delta '} }}{a} - \frac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{{a'}}} \right| = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {2m + 2} $
Theo yêu cầu bài toán ta có: $2\sqrt {2m + 2} = 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {m + 2} = 2 \Leftrightarrow 2m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.
Ví dụ 3) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $\left( P \right): y = - \frac{1}{2}{x^2}$,
điểm $M\left( {m;0} \right)$ với m là tham số khác $0$ và điểm $I\left( {0; - 2} \right)$.
Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua hai điểm $M,I$.
Chứng minh rằng $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ với độ dài đoạn $AB > 4$.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng $\left( d \right):y = \frac{2}{m}x - 2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và Parabol là:
$ - \frac{1}{2}{x^2} = \frac{2}{m}x - 2$ $ \Leftrightarrow m{x^2} + 4x - 4m = 0$.
Ta có $\Delta ' = 4 + 4{m^2} > 0,\forall m$
suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};\frac{{ - x_1^2}}{2}} \right),B\left( {{x_2};\frac{{ - x_2^2}}{2}} \right)$ $A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + \left( {\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{1}{2}x_1^2} \right) = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} \right]$
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - 4}}{m},{x_1}{x_2} = - 4$.
Vậy $A{B^2} = \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + 16} \right)\left( {1 + \frac{4}{{{m^2}}}} \right) > 16$ nên $AB > 4$.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = \frac{{ - {x^2}}}{2}$.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $I\left( {0; - 2} \right)$ và có hệ số góc $k$.
a) Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$.
Chứng minh đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi $k$ thay đổi.
b) Gọi $H,K$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác $IHK$vuông tại I .
Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2006-2007
Lời giải:
a) Đường thẳng $\left( d \right):y = kx - 2$
Xét phương trình $\frac{{ - {x^2}}}{2} = kx - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2kx - 4 = 0$ (1).
Ta có:$\Delta ' = {k^2} + 4 > 0$ với mọi $k$, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$
Suy ra $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $H\left( {{x_1};0} \right),K\left( {{x_2};0} \right)$.
Khi đó $I{H^2} = x_1^2 + 4,I{K^2} = x_2^2 + 4,K{H^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}$.
Theo định lý Viet thì ${x_1}{x_2} = - 4$ nên $I{H^2} + I{K^2} = x_1^2 + x_2^2 + 8 = K{H^2}$.
Vậy tam giác $IHK$ vuông tại I
Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng $\left( d \right)$ và Parabol $(P):y = a{x^2}$ ta cần chú ý:
a) Nếu đường thẳng $\left( d \right)$ là $y = m$ (song song với trục $Ox$) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào $a{x^2} = m$.
b) Nếu đường thẳng $\left( d \right):y = mx + n$ ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là: $a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$
từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình $a{x^2} - mx - n = 0$ bằng cách xét dấu của $\Delta $.
Trong trường hợp đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đồ thị hàm số $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ thì $A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right),B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)$
khi đó ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} $.
Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm ${x_1},{x_2}$ ta đều quy về định lý Viet.
Chú ý: Đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc a đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thì có dạng: $y = a\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Ví dụ 1)
Tìm phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $I\left( {0;1} \right)$ và cắt parabol $(P):$ $y = {x^2}$ tại hai điểm phân biệt m và n sao cho $MN = 2\sqrt {10} $.
(Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2000-2001).
Lời giải:
Đường thẳng $\left( d \right)$ qua I với hệ số góc a có dạng: $y = ax + 1$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${x^2} = ax + 1 \Leftrightarrow {x^2} - ax - 1 = 0$ (1).
Vì $\Delta = {a^2} + 4 > 0$ với mọi a,
(1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$
hay $M\left( {{x_1};a{x_1} + 1} \right),N\left( {{x_2};a{x_2} + 1} \right)$.
Theo định lý Viet ta có:
$\begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = a,{x_1}{x_2} = - 1\$ .\$ MN = 2\sqrt {10} \\
\Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {a{x_2} + 1 - a{x_1} - 1} \right)^2} = 40\$ \$ \\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 40\\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 40\$ \$ \\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 4} \right) = 40 \Rightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = \pm 2\$ .
\end{array}$
Ví dụ 2:
Cho parabol $\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1$.
a) Với $m = 1$, xác định tọa độ giao điểm $A,B$ và $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.
b) Tìm các giá trị của m để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ sao cho $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2$.
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 – thành phố Hà Nội năm 2014).
Lời giải:
a) Với $m = 1$ ta có phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là:
$\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3$ (do $a + b + c = 0$)
Ta có $y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{9}{2}$.
Vậy tọa độ các giao điểm là $A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)$ và $B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là
$\frac{1}{2}{x^2} = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0$ (*)
Để $\left( P \right)$ cắt $\left( d \right)$ tại hai điểm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó $\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$
Cách 1:
Khi $m > - 1$ ta có: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4$
$ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4 \Leftrightarrow 8m = - 4 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.
Cách 2:
Khi $m > - 1$ ta có: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - b + \sqrt {\Delta '} }}{a} - \frac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{{a'}}} \right| = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {2m + 2} $
Theo yêu cầu bài toán ta có: $2\sqrt {2m + 2} = 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {m + 2} = 2 \Leftrightarrow 2m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.
Ví dụ 3) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $\left( P \right): y = - \frac{1}{2}{x^2}$,
điểm $M\left( {m;0} \right)$ với m là tham số khác $0$ và điểm $I\left( {0; - 2} \right)$.
Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua hai điểm $M,I$.
Chứng minh rằng $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ với độ dài đoạn $AB > 4$.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng $\left( d \right):y = \frac{2}{m}x - 2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và Parabol là:
$ - \frac{1}{2}{x^2} = \frac{2}{m}x - 2$ $ \Leftrightarrow m{x^2} + 4x - 4m = 0$.
Ta có $\Delta ' = 4 + 4{m^2} > 0,\forall m$
suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};\frac{{ - x_1^2}}{2}} \right),B\left( {{x_2};\frac{{ - x_2^2}}{2}} \right)$ $A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + \left( {\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{1}{2}x_1^2} \right) = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} \right]$
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - 4}}{m},{x_1}{x_2} = - 4$.
Vậy $A{B^2} = \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + 16} \right)\left( {1 + \frac{4}{{{m^2}}}} \right) > 16$ nên $AB > 4$.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = \frac{{ - {x^2}}}{2}$.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $I\left( {0; - 2} \right)$ và có hệ số góc $k$.
a) Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$.
Chứng minh đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi $k$ thay đổi.
b) Gọi $H,K$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác $IHK$vuông tại I .
Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2006-2007
Lời giải:
a) Đường thẳng $\left( d \right):y = kx - 2$
Xét phương trình $\frac{{ - {x^2}}}{2} = kx - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2kx - 4 = 0$ (1).
Ta có:$\Delta ' = {k^2} + 4 > 0$ với mọi $k$, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$
Suy ra $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $H\left( {{x_1};0} \right),K\left( {{x_2};0} \right)$.
Khi đó $I{H^2} = x_1^2 + 4,I{K^2} = x_2^2 + 4,K{H^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}$.
Theo định lý Viet thì ${x_1}{x_2} = - 4$ nên $I{H^2} + I{K^2} = x_1^2 + x_2^2 + 8 = K{H^2}$.
Vậy tam giác $IHK$ vuông tại I
Sửa lần cuối: