Đề bài
Với \(x > 0\), cho hai biểu thức \(A = \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\).
Tính giá trị biểu thức \(A\) khi $x = 64$.
Rút gọn biểu thức \(B\).
Tính \(x\) để \(\frac{A}{B} > \frac{3}{2}\).
Lời giải:
Với \(x = 64\) ta có \(A = \frac{{2 + \sqrt {64} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{{2 + 8}}{8} = \frac{5}{4}\).
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right).\sqrt x }}{{\sqrt x .\left( {x + \sqrt x } \right)}} = \frac{{x\sqrt x + 2x}}{{x\sqrt x + x}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)
Với \(x > 0\), ta có:\(\frac{A}{B} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}:\frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > \frac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 > 3\sqrt x \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 4\) (do \(x > 0\)).
Với \(x > 0\), cho hai biểu thức \(A = \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\).
Tính giá trị biểu thức \(A\) khi $x = 64$.
Rút gọn biểu thức \(B\).
Tính \(x\) để \(\frac{A}{B} > \frac{3}{2}\).
Lời giải:
Với \(x = 64\) ta có \(A = \frac{{2 + \sqrt {64} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{{2 + 8}}{8} = \frac{5}{4}\).
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right).\sqrt x }}{{\sqrt x .\left( {x + \sqrt x } \right)}} = \frac{{x\sqrt x + 2x}}{{x\sqrt x + x}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)
Với \(x > 0\), ta có:\(\frac{A}{B} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}:\frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > \frac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 > 3\sqrt x \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 4\) (do \(x > 0\)).