Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Kiến thức cần nhớ:
+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB
+ Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước.
Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)
Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải:
Đổi 30 phút\( = \frac{1}{2}\) giờ.
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là \(x\) (km/h, \(x > 0\)). Thời gian xe đi từ A đến B là \(\frac{{24}}{x}\) (giờ).
Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc \(x + 4\) (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ)
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 4}} = \frac{1}{2}\).
Giải phương trình: \(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 4}} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 192 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = - 16\end{array} \right.\)
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.
Ví dụ 2: Trên quãng đường \(AB\) dài \(210\) m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ \(A\) đến \(B\) và một ôt ô khởi hành từ \(B\) đi về \(A\). Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến \(B\) và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến \(A\). Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.
(Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013).
Lời giải:
Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h) Điều kiện \(x > 0\).
Gọi vận tốc ô tô là \(y\) (k,/h). Điều kiện \(y > 0\).
Thời gian xe máy dự định đi từ $A$ đến \(B\) là: \(\frac{{210}}{x}\) giờ.
Thời gian ô tô dự định đi từ \(B\) đến \(A\) là: \(\frac{{210}}{y}\) giờ.
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến \(B\) là : \(4x\) (km).
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến \(A\) là : \(\frac{9}{4}y\) (km).
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{y} = 4 - \frac{9}{4}\\\frac{9}{4}x + 2y = 210\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \)$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{y} = \frac{7}{4}\\4x + \frac{9}{4}y = 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{x} - \frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{y} = \frac{7}{4}\\4x + \frac{9}{4}y = 210\end{array} \right.$ \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\\\\\left( 2 \right)\end{array}\).
Từ phương trình (1) ta suy ra $\frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{x} - \frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{y} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow \frac{{9y}}{{4x}} - \frac{{4x}}{y} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}y$.
Thay vào phương trình (2) ta thu được: $\frac{{12}}{4}y + \frac{9}{4}y = 210 \Leftrightarrow y = 40$, $x = 30$.
Vậy vận tốc xe máy là \(30\) km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được \(\frac{3}{4}\) xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên \(\frac{1}{4}\) quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015)
Lời giải:
Gọi vận tốc trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường ban đầu là \(x\)(km/h), điều kiện: \(x > 10\)
Thì vân tốc trên \(\frac{1}{4}\) quãng đường sau là \(x - 10\) (km/h)
Thời gian trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường ban đầu là \(\frac{{90}}{x}\) (h)
Thời gian đi trên \(\frac{1}{4}\) quãng đường sau là: \(\frac{{30}}{{x - 10}}\) (h)
Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút \( = \frac{9}{2}\) giờ.
Nên ta có phương trình: \(\frac{{90}}{x} + \frac{{30}}{{x - 10}} = \frac{9}{2}\)
Giải phương trình ta được \(x = 30\) thỏa mãn điều kiện
Do đó thời gian đi trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường ban đầu \(\frac{{90}}{{30}} = 3\) (giờ)
Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Kiến thức cần nhớ:
+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB
+ Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước.
Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)
Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải:
Đổi 30 phút\( = \frac{1}{2}\) giờ.
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là \(x\) (km/h, \(x > 0\)). Thời gian xe đi từ A đến B là \(\frac{{24}}{x}\) (giờ).
Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc \(x + 4\) (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ)
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 4}} = \frac{1}{2}\).
Giải phương trình: \(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 4}} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 192 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = - 16\end{array} \right.\)
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.
Ví dụ 2: Trên quãng đường \(AB\) dài \(210\) m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ \(A\) đến \(B\) và một ôt ô khởi hành từ \(B\) đi về \(A\). Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến \(B\) và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến \(A\). Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.
(Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013).
Lời giải:
Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h) Điều kiện \(x > 0\).
Gọi vận tốc ô tô là \(y\) (k,/h). Điều kiện \(y > 0\).
Thời gian xe máy dự định đi từ $A$ đến \(B\) là: \(\frac{{210}}{x}\) giờ.
Thời gian ô tô dự định đi từ \(B\) đến \(A\) là: \(\frac{{210}}{y}\) giờ.
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến \(B\) là : \(4x\) (km).
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến \(A\) là : \(\frac{9}{4}y\) (km).
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{y} = 4 - \frac{9}{4}\\\frac{9}{4}x + 2y = 210\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \)$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{y} = \frac{7}{4}\\4x + \frac{9}{4}y = 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{x} - \frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{y} = \frac{7}{4}\\4x + \frac{9}{4}y = 210\end{array} \right.$ \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\\\\\left( 2 \right)\end{array}\).
Từ phương trình (1) ta suy ra $\frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{x} - \frac{{4x + \frac{9}{4}y}}{y} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow \frac{{9y}}{{4x}} - \frac{{4x}}{y} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}y$.
Thay vào phương trình (2) ta thu được: $\frac{{12}}{4}y + \frac{9}{4}y = 210 \Leftrightarrow y = 40$, $x = 30$.
Vậy vận tốc xe máy là \(30\) km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được \(\frac{3}{4}\) xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên \(\frac{1}{4}\) quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015)
Lời giải:
Gọi vận tốc trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường ban đầu là \(x\)(km/h), điều kiện: \(x > 10\)
Thì vân tốc trên \(\frac{1}{4}\) quãng đường sau là \(x - 10\) (km/h)
Thời gian trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường ban đầu là \(\frac{{90}}{x}\) (h)
Thời gian đi trên \(\frac{1}{4}\) quãng đường sau là: \(\frac{{30}}{{x - 10}}\) (h)
Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút \( = \frac{9}{2}\) giờ.
Nên ta có phương trình: \(\frac{{90}}{x} + \frac{{30}}{{x - 10}} = \frac{9}{2}\)
Giải phương trình ta được \(x = 30\) thỏa mãn điều kiện
Do đó thời gian đi trên \(\frac{3}{4}\) quãng đường ban đầu \(\frac{{90}}{{30}} = 3\) (giờ)
Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.