Giả thiết \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = a\).
Chứng minh rằng: $x\sqrt {\frac{{\left( {a + {y^2}} \right)\left( {a + {z^2}} \right)}}{{a + {x^2}}}} + y\sqrt {\frac{{{{\left( {a + z} \right)}^2}{{\left( {a + x} \right)}^2}}}{{a + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {a + {x^2}} \right)\left( {a + {y^2}} \right)}}{{a + {z^2}}}} = 2a$.
Giải:
Ta có: \(a + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\).
Tương tự ta có: \(a + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);a + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\).
Từ đó ta có: \(x\sqrt {\frac{{\left( {a + {y^2}} \right)\left( {a + {z^2}} \right)}}{{a + {x^2}}}} = x\sqrt {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {x + y} \right)\).
Tương tự: \(y\sqrt {\frac{{\left( {a + {z^2}} \right)\left( {a + {x^2}} \right)}}{{a + {y^2}}}} = y\left( {z + x} \right);z\sqrt {\frac{{\left( {a + {x^2}} \right)\left( {a + {y^2}} \right)}}{{a + {z^2}}}} = z\left( {x + y} \right)\).
Vậy \(VT = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2a\).
Chứng minh rằng: $x\sqrt {\frac{{\left( {a + {y^2}} \right)\left( {a + {z^2}} \right)}}{{a + {x^2}}}} + y\sqrt {\frac{{{{\left( {a + z} \right)}^2}{{\left( {a + x} \right)}^2}}}{{a + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {a + {x^2}} \right)\left( {a + {y^2}} \right)}}{{a + {z^2}}}} = 2a$.
Giải:
Ta có: \(a + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\).
Tương tự ta có: \(a + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);a + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\).
Từ đó ta có: \(x\sqrt {\frac{{\left( {a + {y^2}} \right)\left( {a + {z^2}} \right)}}{{a + {x^2}}}} = x\sqrt {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {x + y} \right)\).
Tương tự: \(y\sqrt {\frac{{\left( {a + {z^2}} \right)\left( {a + {x^2}} \right)}}{{a + {y^2}}}} = y\left( {z + x} \right);z\sqrt {\frac{{\left( {a + {x^2}} \right)\left( {a + {y^2}} \right)}}{{a + {z^2}}}} = z\left( {x + y} \right)\).
Vậy \(VT = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2a\).