Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
• Căn bậc hai của số thực \(a\) là số thực \(x\) sao cho \({x^2} = a\).
• Cho số thực \(a\) không âm. Căn bậc hai số học của \(a\) kí hiệu là \(\sqrt a \) là một số thực không âm \(x\) mà bình phương của nó bằng \(a\):
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)
• Với hai số thực không âm $a,b$ ta có: \(\sqrt a \le \sqrt b \Leftrightarrow a \le b\).
• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+ \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\\ - A\end{array} \right.\) nếu $\begin{array}{l}A \ge 0\\A < 0\end{array}$
+ \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = A\sqrt B \) với \(A,B \ge 0\); \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = - A\sqrt B \) với \(A < 0;B \ge 0\)
+ \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{{B^2}}}} = \frac{{\sqrt {A.B} }}{{\left| B \right|}}\) với \(AB \ge 0,B \ne 0\)
+ \(\frac{M}{{\sqrt A }} = \frac{{M.\sqrt A }}{A}\) với \(A > 0\);(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ \(\frac{M}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{M\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\) với \(A,B \ge 0,A \ne B\) (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
• Căn bậc 3 của một số \(a\) kí hiệu là \(\sqrt[3]{a}\) là số \(x\) sao cho \({x^3} = a\)
• Cho \(a \in R;\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {x^3} = {\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = a\)
• Mỗi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc 3.
• Nếu \(a > 0\) thì \(\sqrt[3]{a} > 0\).
• Nếu $a < 0$ thì \(\sqrt[3]{a} < 0\).
• Nếu \(a = 0\) thì \(\sqrt[3]{a} = 0\).
• \(\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}\) với mọi \(b \ne 0\).
• \(\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\) với mọi \(a,b\).
• \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\).
• \(A\sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{{{A^3}B}}\).
• \(\sqrt[3]{{\frac{A}{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{{A{B^2}}}}}{B}\) với \(B \ne 0\)
• \(\frac{{\sqrt[3]{A}}}{B} = \sqrt[3]{{\frac{A}{{{B^3}}}}}\)
• \(\frac{1}{{\sqrt[3]{A} \pm \sqrt[3]{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{A^2}}} \mp \sqrt[3]{{AB}} + \sqrt[3]{{{B^2}}}}}{{A \pm B}}\) với \(A \ne \pm B\).
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số \(a \in R,n \in N;n \ge 2\). Căn bậc \(n\) của một số \(a\) là một số mà lũy thừa bậc \(n\) của nó bằng a.
• Trường hợp \(n\)là số lẻ: \(n = 2k + 1,k \in N\)
Mọi số thực \(a\) đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
\(\sqrt[{2k + 1}]{a} = x \Leftrightarrow {x^{2k + 1}} = a\) , nếu $a > 0$ thì \(\sqrt[{2k + 1}]{a} > 0\), nếu $a < 0$ thì \(\sqrt[{2k + 1}]{a} < 0\), nếu $a = 0$ thì \(\sqrt[{2k + 1}]{a} = 0\)
• Trường hợp \(n\)là số chẵn: \(n = 2k,k \in N\).
Mọi số thực \(a > 0\) đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là \(\sqrt[{2k}]{a}\) (gọi là căn bậc \(2k\) số học của \(a\)). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là \( - \sqrt[{2k}]{a}\), \(\sqrt[{2k}]{a} = x \Leftrightarrow x \ge 0\) và \({x^{2k}} = a\); \( - \sqrt[{2k}]{a} = x \Leftrightarrow x \le 0\) và \({x^{2k}} = a\).
Mọi số thực \(a < 0\) đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) \(P = {x^4} - 4\)
b) \(P = 8{x^3} + 3\sqrt 3 \)
c) \(P = {x^4} + {x^2} + 1\)
Lời giải:
a) \(P = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
b) \(P = {\left( {2x} \right)^3} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = \left( {2x + \sqrt 3 } \right)\left( {4{x^2} - 2\sqrt 3 x + 3} \right)\).
c) \(P = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {x^2} = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) $A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}} $ khi \(x \ge 0\).
b) \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) khi \(x \ge \frac{1}{4}\).
c) \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \)
Lời giải:
a) \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}} = \sqrt x - \sqrt {{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt x - \left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right|\)
+ Nếu \(\sqrt x \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| = \sqrt x - \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{2}\). + Nếu \(\sqrt x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \frac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| = - \sqrt x + \frac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x - \frac{1}{2}\)
b)
\(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } = \sqrt {4x - 1 - 2\sqrt {4x - 1} + 1} + \sqrt {4x - 1 + 2\sqrt {4x - 1} + 1} \)
Hay\(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {4x - 1} + 1} \right|\)\( = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \sqrt {4x - 1} + 1\) + Nếu \(\sqrt {4x - 1} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 4x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\) thì \(\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = \sqrt {4x - 1} - 1\) suy ra \(B = 2\sqrt {4x - 1} \).
+ Nếu \(\sqrt {4x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow 4x - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le x < \frac{1}{2}\) thì \(\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = - \sqrt {4x - 1} + 1\) suy ra \(B = 2\).
c) Để ý rằng: \(7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3 \)
Suy ra \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } \)\( = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } \).Hay \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 - \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\)
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) $A = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } $ là số nguyên.
b) \(B = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c) Chứng minh rằng: $x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}$ với \(a \ge \frac{1}{8}\) là số tự nhiên.
d) Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015\).
Lời giải:
a) Dễ thấy \(A < 0,\)
Tacó${A^2} = {\left( {\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} = 7 - 2\sqrt 6 + 7 + 2\sqrt 6 - 2\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } .\sqrt {7 + 2\sqrt 6 } $$ = 14 - 2.5 = 4$
Suy ra $A = - 2$.
b) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\). Ta có:
\({B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3} = 1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\) \(\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\). Hay \({B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B \Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \frac{{84}}{{81}}}}B \Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0\) mà \({B^2} + B + 2 = {\left( {B + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) suy ra \(B = 1\). Vậy \(B\) là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\)
Ta có ${x^3} = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0$
Xét đa thức bậc hai \({x^2} + x + 2a\) với \(\Delta = 1 - 8a \ge 0\)
+ Khi $a = \frac{1}{8}$ ta có \(x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1\) .
+ Khi $a > \frac{1}{8},$ ta có \(\Delta = 1 - 8a\) âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất $x = 1$ Vậy với mọi \(a \ge \frac{1}{8}\) ta có:\(x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1\) là số tự nhiên.
d) Nhận xét: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 2015} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2015} - x} \right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015\).
Kết hợp với giả thiết ta suy ra \(\sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y\) \( \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y \Leftrightarrow x + y = 0\)
Ví dụ 4)
a) Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\).
b) Cho \(x = 1 + \sqrt[3]{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^4} - 2{x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 1942\).(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho \(x = 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\). Tính giá trị biểu thức: \(P = {x^5} - 4{x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x + 2015\)
Giải:
a) Ta có: \({x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} = 8 + 2\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1\). Từ đó ta suy ra \({\left( {x - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 4\). Ta biến đổi: \(P = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}} = \frac{{{4^2} - 3.4 + 12}}{{4 + 12}} = 1\).
b) Ta có \(x = 1 + \sqrt[3]{2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 3 = 0\). Ta biến đổi biểu thức \(P\) thành:
\(P = {x^2}({x^3} - 3{x^2} + 3x - 3) + x\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 3} \right) + \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 3} \right) + 1945 = 1945\)
c) Để ý rằng: \(x = \sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1\) ta nhân thêm 2 vế với \(\sqrt[3]{2} - 1\) để tận dụng hằng đẳng thức: \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\). Khi đó ta có: \(\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)x = \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)x = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{2}x = x + 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = {\left( {x + 1} \right)^3} \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 3x - 1 = 0\).
Ta biến đổi: \(P = {x^5} - 4{x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x + 2015 = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} - 3x - 1} \right) + 2016 = 2016\)
Ví dụ 5) Cho \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
a) Tính giá trị biểu thức: \(P = x\sqrt {\frac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\frac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \)
b) Chứng minh rằng: \(\frac{x}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {y^2}}} - \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)} }}\)
Lời giải:
a) Để ý rằng: \(1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)\)
Tương tự đối với \(1 + {y^2};1 + {z^2}\) ta có: \(x\sqrt {\frac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = x\sqrt {\frac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\)
Suy ra \(P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2\).
b) Tương tự như câu a)
Ta có: \(\frac{x}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {y^2}}} - \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} - \frac{z}{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)}}\) \( = \frac{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) - z\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{2xy}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)} }}\)
Ví dụ 6)
a) Tìm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thỏa mãn: \(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + .. + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} = \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2} \right)\)
b) Cho \(f( n ) = \frac{{4n + \sqrt {4{n^2} - 1} }}{{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {2n - 1} }}\) với \(n\) nguyên dương. Tính \(f(1) + f(2) + .. + f(40)\).
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với: \({\left( {\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} - 2} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} - n} \right)^2} = 0\)
Hay \({x_1} = 2,{x_2} = {2.2^2},...,{x_n} = 2.{n^2}\)
b) Đặt \(x = \sqrt {2n + 1} ,y = \sqrt {2n - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4n\\xy = \sqrt {4{n^2} - 1} \\{x^2} - {y^2} = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(f( n ) = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{x + y}} = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{1}{2}\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{\left( {2n + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {2n - 1} \right)}^3}} } \right)\). Áp dụng vào bài toán ta có: \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + .. + f\left( {40} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\sqrt {{3^3}} - \sqrt {{1^3}} } \right) + \left( {\sqrt {{5^3}} - \sqrt {{3^3}} } \right) + .. + \left( {\sqrt {{{81}^3}} - \sqrt {{{79}^3}} } \right)} \right]\)\( = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{81}^3}} - \sqrt {{1^3}} } \right) = 364\)
Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\). Đề thi chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\).
c) Chứng minh: \(2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1\) với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\).
Lời giải:
a) Xét \(A = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\), \(B = \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Dễ thấy \(A > B\).
Ta có \(A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Mặt khác ta có: \(\frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \frac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \)
Suy ra $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8$. Do $A > B$ suy ra \(2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4\).
b) Để ý rằng: \(\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k(k + 1)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} < \frac{1}{{2k\sqrt {k + 1} }}\) với mọi \(k\) nguyên dương.
Suy ra \(VT > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + .. + 2\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\).
c) Đặt \(P = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }}\)
Ta có: \(\frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} < \frac{1}{{\sqrt n }} = \frac{2}{{2\sqrt n }} < \frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).
Từ đó suy ra \(2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \frac{2}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} < \frac{2}{{2\sqrt n }} < \frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }} = 2\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)\) hay \(2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) < \frac{2}{{\sqrt n }} < 2\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)\)
Do đó: \(2\left[ {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)} \right] < T\) và \(T < 1 + 2\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ....\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)} \right]\).
Hay \(2\sqrt n - 2 < T < 2\sqrt n - 1\).
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \frac{3}{2}\).Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{3}{2}\).
a) Tìm các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện: \(x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {z^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3\). (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
\(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} \le \frac{{{a^2} + 1 - {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + 1 - {c^2}}}{2} + \frac{{{c^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \frac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {1 - {b^2}} \\b = \sqrt {1 - {c^2}} \\c = \sqrt {1 - {a^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1 - {b^2}\\{b^2} = 1 - {c^2}\\{c^2} = 1 - {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{3}{2}\) (đpcm).
b) Ta viết lại giả thiết thành: \(2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {z^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6\).
Áp dụng bất đẳng thức : \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có: \(2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {z^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \le {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6\). Suy ra \(VT \le VP\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {1 - {y^2}} \\y = \sqrt {2 - {z^2}} \\z = \sqrt {3 - {x^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y,z \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 1\\{y^2} + {z^2} = 2\\{z^2} + {x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3;x,y,z \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 1\\{y^2} + {z^2} = 2\\{z^2} + {x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1;y = 0;z = \sqrt 2 \)
Ví dụ 9) Cho \(A = \frac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
a) Rút gọn \(A\).Tìm \(x\) để \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x > 4\).
\(A = \frac{{x\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} } \right)}}{{\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} = \)\(\frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}\)
+ Nếu \(4 < x < 8\) thì \(\sqrt {x - 4} - 2 < 0\) nên $A = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \frac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$
Do \(4 < x < 8\) nên \(0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8\).
+ Nếu $x \ge 8$ thì \(\sqrt {x - 4} - 2 \ge 0\) nên $A = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} = \frac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4} + \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4} = \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.
Vậy GTNN của $A$ bằng \(8\) khi \(x = 8\).
b) Xét \(4 < x < 8\) thì $A = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$ , ta thấy \(A \in Z\) khi và chỉ khi $\frac{{16}}{{x - 4}} \in Z \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của \(16\). Hay $x - 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra ${\rm{x}} = 5$ hoặc \(x = 6\).
+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \frac{{2x}}{{\sqrt {x -a 4} }}$, đặt \(\sqrt {x - 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.\) khi đó ta có: \(A = \frac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \frac{8}{m}\) suy ra \(m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}\).
Tóm lại để $A$ nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}\).
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
• Căn bậc hai của số thực \(a\) là số thực \(x\) sao cho \({x^2} = a\).
• Cho số thực \(a\) không âm. Căn bậc hai số học của \(a\) kí hiệu là \(\sqrt a \) là một số thực không âm \(x\) mà bình phương của nó bằng \(a\):
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)
• Với hai số thực không âm $a,b$ ta có: \(\sqrt a \le \sqrt b \Leftrightarrow a \le b\).
• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+ \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\\ - A\end{array} \right.\) nếu $\begin{array}{l}A \ge 0\\A < 0\end{array}$
+ \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = A\sqrt B \) với \(A,B \ge 0\); \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = - A\sqrt B \) với \(A < 0;B \ge 0\)
+ \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{{B^2}}}} = \frac{{\sqrt {A.B} }}{{\left| B \right|}}\) với \(AB \ge 0,B \ne 0\)
+ \(\frac{M}{{\sqrt A }} = \frac{{M.\sqrt A }}{A}\) với \(A > 0\);(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ \(\frac{M}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{M\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\) với \(A,B \ge 0,A \ne B\) (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
• Căn bậc 3 của một số \(a\) kí hiệu là \(\sqrt[3]{a}\) là số \(x\) sao cho \({x^3} = a\)
• Cho \(a \in R;\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {x^3} = {\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = a\)
• Mỗi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc 3.
• Nếu \(a > 0\) thì \(\sqrt[3]{a} > 0\).
• Nếu $a < 0$ thì \(\sqrt[3]{a} < 0\).
• Nếu \(a = 0\) thì \(\sqrt[3]{a} = 0\).
• \(\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}\) với mọi \(b \ne 0\).
• \(\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\) với mọi \(a,b\).
• \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\).
• \(A\sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{{{A^3}B}}\).
• \(\sqrt[3]{{\frac{A}{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{{A{B^2}}}}}{B}\) với \(B \ne 0\)
• \(\frac{{\sqrt[3]{A}}}{B} = \sqrt[3]{{\frac{A}{{{B^3}}}}}\)
• \(\frac{1}{{\sqrt[3]{A} \pm \sqrt[3]{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{A^2}}} \mp \sqrt[3]{{AB}} + \sqrt[3]{{{B^2}}}}}{{A \pm B}}\) với \(A \ne \pm B\).
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số \(a \in R,n \in N;n \ge 2\). Căn bậc \(n\) của một số \(a\) là một số mà lũy thừa bậc \(n\) của nó bằng a.
• Trường hợp \(n\)là số lẻ: \(n = 2k + 1,k \in N\)
Mọi số thực \(a\) đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
\(\sqrt[{2k + 1}]{a} = x \Leftrightarrow {x^{2k + 1}} = a\) , nếu $a > 0$ thì \(\sqrt[{2k + 1}]{a} > 0\), nếu $a < 0$ thì \(\sqrt[{2k + 1}]{a} < 0\), nếu $a = 0$ thì \(\sqrt[{2k + 1}]{a} = 0\)
• Trường hợp \(n\)là số chẵn: \(n = 2k,k \in N\).
Mọi số thực \(a > 0\) đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là \(\sqrt[{2k}]{a}\) (gọi là căn bậc \(2k\) số học của \(a\)). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là \( - \sqrt[{2k}]{a}\), \(\sqrt[{2k}]{a} = x \Leftrightarrow x \ge 0\) và \({x^{2k}} = a\); \( - \sqrt[{2k}]{a} = x \Leftrightarrow x \le 0\) và \({x^{2k}} = a\).
Mọi số thực \(a < 0\) đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) \(P = {x^4} - 4\)
b) \(P = 8{x^3} + 3\sqrt 3 \)
c) \(P = {x^4} + {x^2} + 1\)
Lời giải:
a) \(P = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
b) \(P = {\left( {2x} \right)^3} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = \left( {2x + \sqrt 3 } \right)\left( {4{x^2} - 2\sqrt 3 x + 3} \right)\).
c) \(P = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {x^2} = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) $A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}} $ khi \(x \ge 0\).
b) \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) khi \(x \ge \frac{1}{4}\).
c) \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \)
Lời giải:
a) \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}} = \sqrt x - \sqrt {{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt x - \left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right|\)
+ Nếu \(\sqrt x \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| = \sqrt x - \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{2}\). + Nếu \(\sqrt x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \frac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| = - \sqrt x + \frac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x - \frac{1}{2}\)
b)
\(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } = \sqrt {4x - 1 - 2\sqrt {4x - 1} + 1} + \sqrt {4x - 1 + 2\sqrt {4x - 1} + 1} \)
Hay\(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {4x - 1} + 1} \right|\)\( = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \sqrt {4x - 1} + 1\) + Nếu \(\sqrt {4x - 1} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 4x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\) thì \(\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = \sqrt {4x - 1} - 1\) suy ra \(B = 2\sqrt {4x - 1} \).
+ Nếu \(\sqrt {4x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow 4x - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le x < \frac{1}{2}\) thì \(\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = - \sqrt {4x - 1} + 1\) suy ra \(B = 2\).
c) Để ý rằng: \(7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3 \)
Suy ra \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } \)\( = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } \).Hay \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 - \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\)
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) $A = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } $ là số nguyên.
b) \(B = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c) Chứng minh rằng: $x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}$ với \(a \ge \frac{1}{8}\) là số tự nhiên.
d) Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015\).
Lời giải:
a) Dễ thấy \(A < 0,\)
Tacó${A^2} = {\left( {\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} = 7 - 2\sqrt 6 + 7 + 2\sqrt 6 - 2\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } .\sqrt {7 + 2\sqrt 6 } $$ = 14 - 2.5 = 4$
Suy ra $A = - 2$.
b) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\). Ta có:
\({B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3} = 1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\) \(\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\). Hay \({B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B \Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \frac{{84}}{{81}}}}B \Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0\) mà \({B^2} + B + 2 = {\left( {B + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) suy ra \(B = 1\). Vậy \(B\) là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\)
Ta có ${x^3} = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0$
Xét đa thức bậc hai \({x^2} + x + 2a\) với \(\Delta = 1 - 8a \ge 0\)
+ Khi $a = \frac{1}{8}$ ta có \(x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1\) .
+ Khi $a > \frac{1}{8},$ ta có \(\Delta = 1 - 8a\) âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất $x = 1$ Vậy với mọi \(a \ge \frac{1}{8}\) ta có:\(x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1\) là số tự nhiên.
d) Nhận xét: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 2015} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2015} - x} \right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015\).
Kết hợp với giả thiết ta suy ra \(\sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y\) \( \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y \Leftrightarrow x + y = 0\)
Ví dụ 4)
a) Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\).
b) Cho \(x = 1 + \sqrt[3]{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^4} - 2{x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 1942\).(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho \(x = 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\). Tính giá trị biểu thức: \(P = {x^5} - 4{x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x + 2015\)
Giải:
a) Ta có: \({x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} = 8 + 2\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1\). Từ đó ta suy ra \({\left( {x - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 4\). Ta biến đổi: \(P = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}} = \frac{{{4^2} - 3.4 + 12}}{{4 + 12}} = 1\).
b) Ta có \(x = 1 + \sqrt[3]{2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 3 = 0\). Ta biến đổi biểu thức \(P\) thành:
\(P = {x^2}({x^3} - 3{x^2} + 3x - 3) + x\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 3} \right) + \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 3} \right) + 1945 = 1945\)
c) Để ý rằng: \(x = \sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1\) ta nhân thêm 2 vế với \(\sqrt[3]{2} - 1\) để tận dụng hằng đẳng thức: \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\). Khi đó ta có: \(\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)x = \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)x = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{2}x = x + 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = {\left( {x + 1} \right)^3} \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 3x - 1 = 0\).
Ta biến đổi: \(P = {x^5} - 4{x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x + 2015 = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} - 3x - 1} \right) + 2016 = 2016\)
Ví dụ 5) Cho \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
a) Tính giá trị biểu thức: \(P = x\sqrt {\frac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\frac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \)
b) Chứng minh rằng: \(\frac{x}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {y^2}}} - \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)} }}\)
Lời giải:
a) Để ý rằng: \(1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)\)
Tương tự đối với \(1 + {y^2};1 + {z^2}\) ta có: \(x\sqrt {\frac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = x\sqrt {\frac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\)
Suy ra \(P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2\).
b) Tương tự như câu a)
Ta có: \(\frac{x}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {y^2}}} - \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} - \frac{z}{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)}}\) \( = \frac{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) - z\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{2xy}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)} }}\)
Ví dụ 6)
a) Tìm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thỏa mãn: \(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + .. + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} = \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2} \right)\)
b) Cho \(f( n ) = \frac{{4n + \sqrt {4{n^2} - 1} }}{{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {2n - 1} }}\) với \(n\) nguyên dương. Tính \(f(1) + f(2) + .. + f(40)\).
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với: \({\left( {\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} - 2} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} - n} \right)^2} = 0\)
Hay \({x_1} = 2,{x_2} = {2.2^2},...,{x_n} = 2.{n^2}\)
b) Đặt \(x = \sqrt {2n + 1} ,y = \sqrt {2n - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4n\\xy = \sqrt {4{n^2} - 1} \\{x^2} - {y^2} = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(f( n ) = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{x + y}} = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{1}{2}\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{\left( {2n + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {2n - 1} \right)}^3}} } \right)\). Áp dụng vào bài toán ta có: \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + .. + f\left( {40} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\sqrt {{3^3}} - \sqrt {{1^3}} } \right) + \left( {\sqrt {{5^3}} - \sqrt {{3^3}} } \right) + .. + \left( {\sqrt {{{81}^3}} - \sqrt {{{79}^3}} } \right)} \right]\)\( = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{81}^3}} - \sqrt {{1^3}} } \right) = 364\)
Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\). Đề thi chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\).
c) Chứng minh: \(2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1\) với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\).
Lời giải:
a) Xét \(A = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\), \(B = \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Dễ thấy \(A > B\).
Ta có \(A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Mặt khác ta có: \(\frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \frac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \)
Suy ra $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8$. Do $A > B$ suy ra \(2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4\).
b) Để ý rằng: \(\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k(k + 1)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} < \frac{1}{{2k\sqrt {k + 1} }}\) với mọi \(k\) nguyên dương.
Suy ra \(VT > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + .. + 2\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\).
c) Đặt \(P = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }}\)
Ta có: \(\frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} < \frac{1}{{\sqrt n }} = \frac{2}{{2\sqrt n }} < \frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).
Từ đó suy ra \(2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \frac{2}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} < \frac{2}{{2\sqrt n }} < \frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }} = 2\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)\) hay \(2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) < \frac{2}{{\sqrt n }} < 2\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)\)
Do đó: \(2\left[ {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)} \right] < T\) và \(T < 1 + 2\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ....\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)} \right]\).
Hay \(2\sqrt n - 2 < T < 2\sqrt n - 1\).
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \frac{3}{2}\).Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{3}{2}\).
a) Tìm các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện: \(x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {z^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3\). (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
\(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} \le \frac{{{a^2} + 1 - {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + 1 - {c^2}}}{2} + \frac{{{c^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \frac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {1 - {b^2}} \\b = \sqrt {1 - {c^2}} \\c = \sqrt {1 - {a^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1 - {b^2}\\{b^2} = 1 - {c^2}\\{c^2} = 1 - {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{3}{2}\) (đpcm).
b) Ta viết lại giả thiết thành: \(2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {z^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6\).
Áp dụng bất đẳng thức : \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có: \(2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {z^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \le {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6\). Suy ra \(VT \le VP\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {1 - {y^2}} \\y = \sqrt {2 - {z^2}} \\z = \sqrt {3 - {x^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y,z \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 1\\{y^2} + {z^2} = 2\\{z^2} + {x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3;x,y,z \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 1\\{y^2} + {z^2} = 2\\{z^2} + {x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1;y = 0;z = \sqrt 2 \)
Ví dụ 9) Cho \(A = \frac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
a) Rút gọn \(A\).Tìm \(x\) để \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x > 4\).
\(A = \frac{{x\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} } \right)}}{{\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} = \)\(\frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}\)
+ Nếu \(4 < x < 8\) thì \(\sqrt {x - 4} - 2 < 0\) nên $A = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \frac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$
Do \(4 < x < 8\) nên \(0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8\).
+ Nếu $x \ge 8$ thì \(\sqrt {x - 4} - 2 \ge 0\) nên $A = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} = \frac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4} + \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4} = \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.
Vậy GTNN của $A$ bằng \(8\) khi \(x = 8\).
b) Xét \(4 < x < 8\) thì $A = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$ , ta thấy \(A \in Z\) khi và chỉ khi $\frac{{16}}{{x - 4}} \in Z \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của \(16\). Hay $x - 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra ${\rm{x}} = 5$ hoặc \(x = 6\).
+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \frac{{2x}}{{\sqrt {x -a 4} }}$, đặt \(\sqrt {x - 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.\) khi đó ta có: \(A = \frac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \frac{8}{m}\) suy ra \(m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}\).
Tóm lại để $A$ nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}\).
Sửa lần cuối: