Cho \(a = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \).
Tính giá trị của biểu thức: \(T = \frac{{{a^2} - 4{a^3} + {a^2} + 6a + 4}}{{{a^2} - 2a + 12}}\).
Giải:
\({a^2} = 8 + 2\sqrt {16 - \left( {10 + 2\sqrt 5 } \right)} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)\( = 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 \). Vì \(a > 0\) nên \(a = \sqrt 5 + 1\).
Do đó \({\left( {a - 1} \right)^2} = 5\) hay \({a^2} - 2a = 4\).
Biểu diễn \(T = \frac{{{{\left( {{a^2} - 2a} \right)}^2} - 3\left( {{a^2} - 2a} \right) + 4}}{{{a^2} - 2a + 12}} = \frac{{{4^2} - 3.4 + 4}}{{4 + 12}} = \frac{1}{2}\).
Tính giá trị của biểu thức: \(T = \frac{{{a^2} - 4{a^3} + {a^2} + 6a + 4}}{{{a^2} - 2a + 12}}\).
Giải:
\({a^2} = 8 + 2\sqrt {16 - \left( {10 + 2\sqrt 5 } \right)} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)\( = 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 \). Vì \(a > 0\) nên \(a = \sqrt 5 + 1\).
Do đó \({\left( {a - 1} \right)^2} = 5\) hay \({a^2} - 2a = 4\).
Biểu diễn \(T = \frac{{{{\left( {{a^2} - 2a} \right)}^2} - 3\left( {{a^2} - 2a} \right) + 4}}{{{a^2} - 2a + 12}} = \frac{{{4^2} - 3.4 + 4}}{{4 + 12}} = \frac{1}{2}\).