Cho \(a = \sqrt 2 + \sqrt {7 - \sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }}} + 1\).
a) Chứng minh rằng: \({a^4} - 14{a^2} + 9 = 0\).
b) Giả sử \(f\left( x \right) = {x^5} + 2{x^4} - 14{x^3} - 28{x^2} + 9x + 19\). Tính \(f\left( a \right)\).
Giải:
a) Vì \(\sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 2\sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 + 2\sqrt 5 \)
Từ đó \(a = \sqrt 2 + \sqrt {7 - 1 - 2\sqrt 5 } + 1 = \sqrt 2 + \sqrt 5 \)
\( \Rightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow {a^2} - 7 = 2\sqrt {10} \Rightarrow {a^4} - 14{a^2} + 9 = 0\).
b) Do \(f\left( x \right) = \left( {{x^4} - 14{x^2} + 9} \right)\left( {x + 2} \right) + 1\) và \({x^4} - 14{a^2} + 9 = 0\) nên ta được \(f\left( a \right) = 1\).
a) Chứng minh rằng: \({a^4} - 14{a^2} + 9 = 0\).
b) Giả sử \(f\left( x \right) = {x^5} + 2{x^4} - 14{x^3} - 28{x^2} + 9x + 19\). Tính \(f\left( a \right)\).
Giải:
a) Vì \(\sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 2\sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 + 2\sqrt 5 \)
Từ đó \(a = \sqrt 2 + \sqrt {7 - 1 - 2\sqrt 5 } + 1 = \sqrt 2 + \sqrt 5 \)
\( \Rightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow {a^2} - 7 = 2\sqrt {10} \Rightarrow {a^4} - 14{a^2} + 9 = 0\).
b) Do \(f\left( x \right) = \left( {{x^4} - 14{x^2} + 9} \right)\left( {x + 2} \right) + 1\) và \({x^4} - 14{a^2} + 9 = 0\) nên ta được \(f\left( a \right) = 1\).