Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông

Nhớ hệ thức lượng trong tam giác vuông là yếu tố quan trọng giúp học tốt toán lớp 9, dựa vào kiến thức đó hs có thể tiếp cận với những hệ thức tam giác ở bậc THPT. Dưới đây là hệ thống lại Bảng hệ thức lượng cơ bản và nâng cao cùng với cách học thuộc.
1) Tam giác vuông là gì?
Là một tam giác có một góc là góc vuông (90⁰). Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông là nền tảng cơ bản của hệ thức lượng trong tam giác vuông mà ta sẽ bàn tới đây.

2) Thuật ngữ cần nhớ

• Cạnh đối diện với góc vuông (BC) gọi là cạnh huyền.
• Hai cạnh kề với góc vuông là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông).
• Cạnh AB có thể xem là kề với góc B và đối góc C, trong khi cạnh AC kề góc C và đối góc B.

3) Tỉ số lượng giác của góc nhọn C (hoặc B)
Tỉ số quan trọng

Hệ quả suy ra:

• công thức tính cạnh huyền tam giác vuông BC = AC/cos C
• công thức tính cạnh đối tam giác vuông AB = BC.sin C
• công thức tính cạnh kề tam giác vuông AC = BC.cos C

Một số tính chất của tỉ số lượng giác
Hai góc nhọn thì phụ nhau, nghĩa là

• sin B = cos C
• cos B = sin C
• tan B = cot C
• cot B = tan C

Với góc nhọn B ( hoặc C) thì:

• 0 < sin B < 1
• 0 < cos B < 1
• sin²B + cos²B = 1
• tan B . cot B = 1
• tan B = sin(B)/cos(B)
• cot B = cos(B)/sin(B)

4) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Nếu từ đỉnh A (90⁰) ta hạ một đường cao AH xuống cạnh huyền BC. Khi đó AH gọi là đường cao trong tam giác vuông.
Khi đó, tam giác vuông được chia thành hai tam giác nhỏ hơn tương tự với tam giác gốc và tương tự với nhau.
a) 5 Hệ thức lượng quan trọng

1. AB² = BH.BC
2. AC² = CH.BC
3. AH² = CH.BH
4. AB.AC = AH.BC
5. \(\frac{1}{AH^{2}}\) = \(\frac{1}{AB^{2}}\) + \(\frac{1}{AC^{2}}\)

b) Định lý Pytago: Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này

c) Diện tích tam giác vuông
Với bất cứ tam giác nào, diện tích đều bằng một nửa chiều dài đáy nhân với chiều cao tương ứng. Trong một tam giác vuông, nếu một cạnh góc vuông được coi là đáy thì cạnh góc vuông còn lại được xem là chiều cao, diện tích của tam giác vuông khi đó sẽ bằng một nửa tích của hai cạnh góc vuông. Công thức tính diện tích tam giác vuông
Nếu tam giác vuông mà có hai cạnh góc vuông bằng nhau (AB = AC = a) gọi là tam giác vuông cân. Diện tích tam giác vuông cân sẽ tính theo công thức đơn giản hơn:
5) Ví dụ minh họa
VD 1: Cho tam giác ABC có một góc là vuông, hai cạnh góc vuông có độ dài là \(3\) và \(4\). Từ đỉnh góc vuông kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) có \(AB=3,\ AC=4\). Ta cần tính \(AH,\ BH\) và \(CH\).

Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2= 3^2+4^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=9+16=25\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{25}= 5\).
Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
*\(AH.BC=AB.AC\)\(\Leftrightarrow AH.5=3.4\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{3.4}{5}=2,4\)
*\(AB^2=BH.BC\)\(\Leftrightarrow 3^2=BH.5\)
\(\Leftrightarrow 9=BH.5\)
\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9}{5}=1,8\)
* \(AC^2=CH.BC\) \(\Leftrightarrow 4^2=CH.5\)
\(\Leftrightarrow 16=CH.5\)
\(\Leftrightarrow CH=\dfrac{16}{5}=3,2\)

VD 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat C = \beta \). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc \(\beta \)
Các tỉ số lượng giác của góc \(\beta \) là:
\(\eqalign{& \sin \beta = {{AB} \over {BC}} \cr & \cos \beta = {{AC} \over {BC}} \cr & tg\beta = {{AB} \over {AC}} \cr & cotg\beta = {{AC} \over {AB}} \cr} \)

VD 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB/AC = 20/21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC.


Xem thêm phần phân dạng:

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
4. Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn