Giải 3 bài tập lượng giác khó

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Bài tập 1: Giải phương trình lượng giác $8{\cos ^3}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 3x.$

Giải​
Dựa vào công thức lượng giác ta có thể đặt $t = x + \frac{\pi }{3}$ $ \Rightarrow x = t – \frac{\pi }{3}$ $ \Rightarrow 3x = 3t – \pi .$
$PT \Leftrightarrow 8{\cos ^3}t = \cos \left( {3t – \pi } \right)$ $ \Leftrightarrow 8{\cos ^3}t = – \cos 3t$
$ \Leftrightarrow 8{\cos ^3}t = 3\cos t – 4{\cos ^3}t$ $ \Leftrightarrow \cos t\left( {12{{\cos }^2}t – 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t = 0\\
\cos t = \frac{1}{2}\\
\cos t = \frac{{ – 1}}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
t = \frac{{ – \pi }}{3} + k2\pi \\
t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
t = \frac{{ – 2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
t = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi
\end{array} \right.$ $(k∈Z).$
Thay $x = t – \frac{\pi }{3}$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.$ $(k∈Z).$

Bài tập 2: Giải phương trình lượng giác sau: $\frac{9}{{{{81}^{{{\sin }^2}x}}}}$ $ + 2(\cos 2x – 2)\frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}}$ $ + 4{\cos ^2}x – 3 = 0.$
Giải​
Đặt $t = \frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}}$, $\left( {t > 0} \right).$
Ta có: $t = \frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}}$ $ = {3^{1 – 2{{\sin }^2}x}} = {3^{\cos 2x}}.$
Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} + 2(\cos 2x – 2)t$ $ + 4{\cos ^2}x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 2(\cos 2x – 2)t$ $ + 2\cos 2x – 5 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = – 1\left( {loại} \right)\\
t = 5 – 2\cos 2x
\end{array} \right.$
Với $t = 5 – 2\cos 2x$, ta có: ${3^{\cos 2x}} = 5 – 2\cos 2x$ $ \Leftrightarrow {3^{\cos 2x}} + 2\cos 2x = 5$ $(*).$
Đặt $y = \cos 2x$, $\left| y \right| \le 1$ thì phương trình $(*)$ trở thành: ${3^y} + 2y = 5.$
Vì hàm số $f( y ) = {3^y} + 2y$ luôn đồng biến trên R nên phương trình $f( y )=5$ có nghiệm duy nhất. Mặt khác $f(1) = 5$, suy ra $y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f( y )=5.$
Với $y=1$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = k\pi $ $(k∈Z).$

Bài tập 3: Giải phương trình lượng giác ${\tan ^3}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \tan x – 1.$
Giải​
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Dựa vào bảng lượng giác ta có thể biến đối đổi:
Đặt $t = x – \frac{\pi }{4}$ $ \Rightarrow x = t + \frac{\pi }{4}.$
$PT \Leftrightarrow {\tan ^3}t$ $ = \tan \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) – 1$ $ \Leftrightarrow {\tan ^3}t = \frac{{\tan t + 1}}{{1 – \tan t}} – 1$
$ \Leftrightarrow {\tan ^3}t = \frac{{2\tan t}}{{1 – \tan t}}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^3}t\left( {1 – \tan t} \right) – 2\tan t = 0$
$ \Leftrightarrow \tan t\left( {{{\tan }^2}t – {{\tan }^3}t – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan t = 0\\
\tan t = – 1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = k\pi \\
t = \frac{{ – \pi }}{4} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Thay $x = t + \frac{\pi }{4}$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
 
Sửa lần cuối: