Tứ diện là gì? Tứ diện đều là gì? Bài viết này không chỉ trả lời câu hỏi đó mà còn viết chi tiết thêm về các bài toán thường gặp trong đề thi như tính thể tích tứ diện đều; tính độ dài đường cao tứ diện đều; ... mới bạn theo dõi
Trong đó:
A. 1.
B. 4.
C. 6.
D. 8.
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} \cdot \)
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4} \cdot \)
C. \({a^3}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{6} \cdot \)
Gọi SH là hình chiếu của a lên \(\left( {BCD} \right)\).
Ta có: \(BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\({S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2. Cho biết mặt bên (DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc \(2\alpha \) mà \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{3}\). Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
A. O là trung điểm của AB.
B. O là trung điểm của AD.
C. O là trung điểm của BD.
D. O thuộc mặt phẳng (ADB).
Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và \(AM = DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong \(\Delta MA{\rm{D}}\):
\(A{{\rm{D}}^2} = A{M^2} + D{M^2} - 2AM.DM.\cos 2\alpha \)
\( \Rightarrow AD = 2.2.\frac{{3{a^2}}}{4} - 2.\frac{{3{a^2}}}{4}.\frac{1}{3} = 2{a^2}\)
Ta có: \(B{A^2} + B{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{D^2}\)
\( \Rightarrow ABD = {90^0}\)
Tương tự: \(C{A^2} + C{D^2} = A{D^2}\)
\( \Rightarrow ACD = {90^0}\)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD.
Tứ diện là gì?
Tứ diện là hình không gian có bốn mặt và sáu cạnh.- 4 mặt tứ diện là (ABC); (ACD); (ABD); (BDC).
- 6 cạnh của tứ diện là AB; AC; AD; BD; BC; CD.
Tứ diện đều là gì?
Tứ diện đều có các mắt bên là tam giác đều.- Các cạnh bên bằng nhau: AB = AC = AD = BD = BC = CD.
- Góc ở mỗi mặt tứ diện là 600.
- Thể tích khối tứ diện đều là $V=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}.$
- Chiều cao của hình tứ diện đều là $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
- Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc, đoạn nối trung điểm 2 cạnh đối là đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối đó. Như vậy khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều bằng độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện ấy.
Ví dụ vận dụng
Ví dụ 1: Số mặt đối xứng của hình tứ diện đều là bao nhiêu?A. 1.
B. 4.
C. 6.
D. 8.
Hướng dẫn
Hình tứ diện đều có 6 mặt đối xứng (Hình vẽ).Ví dụ 2: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} \cdot \)
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4} \cdot \)
C. \({a^3}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{6} \cdot \)
Hướng dẫn
Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a.Gọi SH là hình chiếu của a lên \(\left( {BCD} \right)\).
Ta có: \(BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\({S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2. Cho biết mặt bên (DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc \(2\alpha \) mà \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{3}\). Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
A. O là trung điểm của AB.
B. O là trung điểm của AD.
C. O là trung điểm của BD.
D. O thuộc mặt phẳng (ADB).
Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm cạnh BC.Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và \(AM = DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong \(\Delta MA{\rm{D}}\):
\(A{{\rm{D}}^2} = A{M^2} + D{M^2} - 2AM.DM.\cos 2\alpha \)
\( \Rightarrow AD = 2.2.\frac{{3{a^2}}}{4} - 2.\frac{{3{a^2}}}{4}.\frac{1}{3} = 2{a^2}\)
Ta có: \(B{A^2} + B{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{D^2}\)
\( \Rightarrow ABD = {90^0}\)
Tương tự: \(C{A^2} + C{D^2} = A{D^2}\)
\( \Rightarrow ACD = {90^0}\)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD.
Sửa lần cuối: