Giới hạn

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
Định nghĩa: Ta nói dãy số (u$_n$) có giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n})$ = 0, viết tắt là lim(u$_n$) = 0 hoặc limu$_n$ = 0 hoặc u$_n$ → 0.
Nhận xét:

1. Dãy số (u$_n$) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số (|u$_n$|) có giới hạn 0.
2. Dãy số không đổi (u$_n$) với u$_n$ = 0 có giới hạn 0.
3. MỘT SỐ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 THƯỜNG GẶP

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

1. im$\frac{1}{n}$ = 0.
2. lim $\frac{1}{{\sqrt n }}$ = 0.
3. lim $\frac{1}{{\sqrt[3]{n}}}$ = 0.

Định lí 1: Cho hai dãy số (u$_n$) và (v$_n$). Nếu |u$_n$| ≤ v$_n$ với mọi n và limv$_n$ = 0 thì limu$_n$ = 0.
Định lí 2: Nếu |q| < 1 thì limqn = 0.

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN
Định nghĩa: Ta nói dãy số (u$_n$) có giới hạn là số thực L nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} - L)$ = 0.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n})$ = L, viết tắt là lim(u$_n$) = L hoặc limu$_n$ = L hoặc u$_n$ → L.

2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ
Định lí 1: Giả sử limu$_n$ = L. Khi đó:
Định lí 2: Giả sử limu$_n$ = L, limv$_n$ = M và c là một hằng số. Khi đó:
3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Với cấp số nhân (u$_n$) có công bội q thoả mãn |q| < 1 thì: S = u1 + u2 + … = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$.

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. DÃY SỐ CỚI GIỚI HẠN +∞
Định nghĩa: Ta nói dãy số (u$_n$) có giới hạn là +∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n})$ = +∞, viết tắt là lim(u$_n$) = +∞ hoặc limu$_n$ = +∞ hoặc u$_n$ → +∞.
Từ định nghĩa, ta có các kết quả:
2. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN - ∞
Định nghĩa: Ta nói dãy số (u$_n$) có giới hạn là - ∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n})$ = - ∞, viết tắt là lim(u$_n$) = - ∞ hoặc limu$_n$ = - ∞ hoặc u$_n$ → - ∞.
Nhận xét: Nếu limu$_n$ = - ∞ thì lim(- u$_n$) = +∞.
* Chú ý:

3. MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC
Quy tắc 1: Nếu limun = ± ∞ và limvn = ± ∞ thì lim(un.vn) được cho trong bảng sau

Quy tắc 2: Nếu limun = ± ∞ và limvn = L ≠ 0 thì lim(un.vn) được cho trong bảng sau

Quy tắc 3: Nếu limun = L ≠ 0, limvn = 0 và vn ≠ 0 với mọi n thì lim $\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ được cho trong bảng sau

4. MỘT SỐ KẾT QUẢ
a. lim$\frac{{{q^n}}}{n}$ = +∞ và lim$\frac{n}{{{q^n}}}$ = 0, với q > 1.
Mở rộng: Ta có lim$\frac{{{q^n}}}{{{n^k}}}$ = +∞ và lim$\frac{{{n^k}}}{{{q^n}}}$, với q > 1 và k là một số nguyên dương.
b. Cho hai dãy số (u$_n$) và (v$_n$).
* Nếu u$_n$ ≤ v$_n$ với mọi n và lim u$_n$ = +∞ thì lim v$_n$ = +∞.
* Nếu lim u$_n$ = L ∈ R và lim|v$_n$| = +∞ thì lim $\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ = 0.
* Nếu lim u$_n$ = +∞ (hoặc - ∞) và lim v$_n$ = L ∈ R thì lim (u$_n$ + v$_n$) = +∞ (hoặc - ∞).

IV. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa 1 (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x$_0$ và y = f(x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x$_0$. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x$_0$ (hoặc tại điểm x$_0$) nếu với mọi số dãy số (x$_n$) trong tập hợp (a; b)\{x$_0$} mà lim x$_n$ = x$_0$ ta đều có lim f(x$_n$) = L.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → x$_0$.
Từ định nghĩa, ta có các kết quả:
Định nghĩa 2 (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x$_0$ và y = f(x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x$_0$. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn vô cực khi x dần đến x$_0$ (hoặc tại điểm x$_0$) nếu với mọi số dãy số (x$_n$) trong tập hợp (a; b)\{x$_0$} mà lim x$_n$ = x$_0$ ta đều có limf(x$_n$) = ± ∞.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = ± ∞ hoặc f(x) → ± ∞ khi x → x$_0$.

2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi số dãy số (x$_n$) trong khoảng (a; +∞) mà lim x$_n$ = +∞ ta đều có lim f(x$_n$) = L.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } $f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → x$_0$.
Chú ý: Các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } $f(x) = L, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } $f(x) = ± ∞, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } $f(x) = ± ∞ được định nghĩa tương tự.
Ta có, các kết quả sau với số nguyên dương k bất kì cho trước:
1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}}$ = 0.
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}}$ = 0.
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k}$ = +∞.
4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty \,\,neu\,k\,chan\,\\ - \infty \,\,\,neu\,k\,le \end{array} \right.$

3. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Định lí 1: Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = L và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $g(x) = M (L, M ∈ R). Khi đó:
a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $[f(x) ± g(x)] = L ± M;
b. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $[f(x).g(x)] = L.M;
Đặc biệt, nếu c là hằng số thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $[c.f(x)] = cL;
c. Nếu M ≠ 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ = $\frac{L}{M}$.
Định lí 2: Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = L ∈ R. Khi đó:
a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $|f(x)| = |L|;
b. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $$\sqrt[3]{{f(x)}}$ = $\sqrt[3]{L}$;
c. Nếu f(x) ≥ 0 với thì L ≥ 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $$\sqrt {f(x)} $ = $\sqrt L $.
Định lí 3: Giả sử f(x), g(x) và h(x) là ba hàm số xác định trên một khoảng (a; b) chứa điểm x$_0$, có thể trừ ở một điểm x0. Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x ∈ (a; b)\{x0} và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $h(x) = L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $g(x) = L.
Chú ý: Các định lí 1, định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x → x$_0$ bởi x → ± ∞.

V. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Định nghĩa 1 (Giới hạn phải): Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng (x$_0$; b) (x$_0$ ∈ R). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến x$_0$ (hoặc tại điểm x$_0$) nếu với mọi số dãy số (x$_n$) trong khoảng (x$_0$; b) mà lim x$_n$ = x$_0$ ta đều có lim f(x$_n$) = L.
Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } $f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → $x_0^ + $.
Định nghĩa 2 (Giới hạn trái): Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a; x$_0$) (x$_0$ ∈ R). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến x$_0$ (hoặc tại điểm x$_0$) nếu với mọi số dãy số (x$_n$) trong khoảng (a; x$_0$) mà lim x$_n$ = x$_0$ ta đều có lim f(x$_n$) = L.
Khi đó, ta viết:$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } $f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → $x_0^ - $.
Định lí: Điều kiện cần và đủ để $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^{}} f(x)$= L là $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ = L.
Chú ý:
1. Các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } $f(x) = ± ∞, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } $f(x) = ± ∞ được định nghĩa t¬ương tự.
2. Định lí vẫn đúng với giới hạn vô cực.

VI. MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC
Quy tắc 1: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ = ± ∞ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $g(x) = L ≠ 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $[f(x).g(x)] được cho trong bảng sau

Quy tắc 2: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = L ạ 0, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $g(x) = 0 và g(x) ≠ 0 với mọi x ≠ x0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ được cho trong bảng sau

* Chú ý:
1. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $f(x) = 0 và f(x) ≠ 0 với x ≠ x0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $$\frac{1}{{|f(x)|}}$ = + ∞.
2. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $|f(x)| = + ∞ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $$\frac{1}{{|f(x)|}}$ = 0.

VII. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
Khi tìm giới hạn của một hàm số, chúng ta có thể gặp các trường hợp sau:
1. lim$\frac{{u(x)}}{{v(x)}}$ với u(x) → 0 và v(x) → 0.
2. lim$\frac{{u(x)}}{{v(x)}}$ với u(x) → ∞ và v(x) → ∞.
3. lim[u(x) - v(x)] với u(x) → ∞ và v(x) → ∞.
4. lim[u(x).v(x)] với u(x) → 0 và v(x) → ∞.
Ta gọi là các dạng vô định dạng $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, ∞ - ∞, 0.∞, …

VIII. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x$_0$ ∈ (a, b) nếu :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ = f(x$_0$).
Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x$_0$ và điểm x$_0$ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x).
Chú ý 1: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x$_0$ nếu ba điều kiện sau được đồng thời thoả mãn:
(i) f(x) xác định tại x$_0$.
(ii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ tồn tại.
(iii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ = f(x$_0$)
Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x$_0$ nếu một trong ba điều kiện trên không được thoả mãn.

* Chú ý 2: Nếu sử dụng giới hạn một phía thì:
1. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ tồn tại và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ = f(x$_0$) thì hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trái tại điểm x$_0$.
2. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$ tồn tại và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$ = f(x$_0$) thì hàm số y = f(x) được gọi là liên tục phải tại điểm x$_0$.
3. Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x$_0$ <=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ = f(x$_0$).
Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b). Giả sử x$_0$ và x(x ≠ x$_0$) là hai phần tử của (a; b).
* Hiệu x - x$_0$, kí hiệu là Δx (đọc là đen - ta x), được gọi là số gia của đối số tại điểm x$_0$. Ta có Δx = x - x$_0$ <=> x = x$_0$ + Δx.
* Hiệu y - y$_0$ = f(x) - f(x$_0$), kí hiệu là Δy, được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại điểm x$_0$. Ta có Δy = y - y$_0$ = f(x) - f(x$_0$) = f(x$_0$ + Δx) - f(x$_0$).
Đặc trưng: Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x$_0$ như sau:
Định lí 1. Một hàm số y = f(x), xác định trên (a; b), là liên tục tại x$_0$ ∈ (a; b) nếu và chỉ nếu $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y$ = 0.
Chứng minh
Thật vậy, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ = f(x$_0$)
<=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} $(f(x) - f(x$_0$)) = 0
<=> $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y$ = 0.

3. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa 2: Ta có
1. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó.
2. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó
* Liên tục trong khoảng (a; b),
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to a_{}^ + } f(x)$ = f(a) (liên tục bên phải tại điểm a),
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to b_{}^ - } f(x)$ = f(b) (liên tục bên trái tại điểm b).
* Chú ý:
1. Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.
2. Khi ta nói hàm số y = f(x) liên tục mà không chỉ ra trên khoảng nào thì có nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

4. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định lí 3. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.
Định lí 4. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng.