Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với đường thẳng \(\Delta \) góc lớn nhất

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\) và hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),\,\,B\left( { - 1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với đường thẳng \(\Delta \) góc lớn nhất.
A. \(x + 10y + 22{\rm{z}} - 43 = 0.\)
B. \(2{\rm{x}} + 21y + 46{\rm{z}} - 90 = 0.\)
C. \(x + 4y + 10{\rm{z}} - 19 = 0.\)
D. \(2{\rm{x}} + 3y - 5{\rm{z}} + 3 = 0.\)

Gọi d là đường thẳng qua A và song song với \(\Delta \). Vậy PT đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right..\)
Lấy \(C\left( {2;4;3} \right) \in d.\) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C lên (P) và đường thẳng AB. Lúc này có \(\widehat {\left( {\left( P \right),\Delta } \right)} = \widehat {\left( {\left( P \right),d} \right)} = \widehat {CAH}.\) Ta có: \({\rm{cos}}\widehat {CAH} = \frac{{AH}}{{AC}} \ge \frac{{AK}}{{AC}} = const \Rightarrow \widehat {CAH}\) lớn nhất khi H trùng với K. Vậy mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc \(\left( \gamma \right)\) (\(\left( \gamma \right)\) là mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng AB và d).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_{\left( \gamma \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 6;5; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \gamma \right)}}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 1; - 10; - 22} \right).\)
Phương trình mặt phẳng (P): \(x + 10y + 22{\rm{z}} - 43 = 0.\)