Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 2 = 0,\)\(\left( Q \right):x + 3y - 12 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)
A. \(\left( R \right):5{\rm{x}} + y - 7{\rm{z}} - 1 = 0.\)
B. \(\left( R \right):{\rm{x}} + 2y - z + 2 = 0.\)
C. \(\left( R \right):{\rm{x}} + 2y - {\rm{z}} = 0.\)
D. \(\left( R \right):15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0.\)

VTPT của (P) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), VTPT của (Q) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3;0} \right)\). Gọi \({d'} = \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)
Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
Khi đó VTCP của d’ là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {3; - 1;2} \right)\) cũng là VTCP của d nên d song song d’.
Ta có: \(A\left( {1; - 2; - 1} \right) \in d,\,\,B\left( {0;4;2} \right) \in {\rm{d'}} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;6;3} \right)\)
VTPT của (R) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {15;11; - 17} \right).\)
Phương trình mặt phẳng (R) là: \(15\left( {x - 0} \right) + 11\left( {y - 4} \right) - 17\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0.\)