Viết phương trình mặt cầu cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho...

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và điểm \(I\left( {2; - 1;1} \right).\) Viết phương trình mặt cầu cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I.
A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.\)
B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\)
C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 8.\)
D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{80}}{9}.\)

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác IAB vuông tại cân I nên \(IH \bot AB\) và \(IA = \sqrt 2 .IH.\)
d đi qua M(2;1;-1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {IM} = \left( {0;2; - 2} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right) = \left( {2; - 4; - 4} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 2.\)
Do đó: \(IA = \sqrt 2 .IH = \sqrt 2 .d\left( {I,d} \right) = 2\sqrt 2 ,\)suy ra mặt cầu có phương trình:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 8.\)