Vị trí tương đối của hai đường tròn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
1. Các kiến thức cần nhớ
a. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Trường hợp 1:
Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $\left( {R > r} \right)$ cắt nhau
Vị trí tương đối của hai đường tròn.PNG

Khi đó $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn $AB$.
Hệ thức liên hệ $R - r < OO' < R + r$

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc
+) Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $\left( {R > r} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$.
Vị trí tương đối của hai đường tròn 1.PNG

Khi đó $A$ nằm trên đường nối tâm và $OO' = R - r$.
+) Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $\left( {R > r} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$.
Vị trí tương đối của hai đường tròn 2.PNG

Khi đó $A$ nằm trên đường nối tâm và $OO' = R + r$.

Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau
+) Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$$\left( {R > r} \right)$ ở ngoài nhau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn 3.PNG

Ta có $OO' > R + r$
+) Hai đường tròn đựng nhau
Vị trí tương đối của hai đường tròn 4.PNG

Ta có $OO' < R - r$
+) Hai đường tròn đồng tâm
Vị trí tương đối của hai đường tròn 5.PNG

Ta có $OO' = 0$.
Ta có bảng sau
Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm $d$ và các bán kính $R$$r$
Vị trí tương đối của hai đường tròn.PNG


b. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Từ đó suy ra :
  • Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
  • Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc với nhau
Phương pháp:

Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc:
  • Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
  • Hệ thức \(d = R + r\)
Khi làm có thể vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (nếu cần)

Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp:

  • Nối dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn
  • Hệ thức liên hệ : $R-r < d < R + r$
Dạng 3: Các bài toán tính độ dài, diện tích
Phương pháp:

  • Sử dụng tính chất đường nối tâm, tính chất tiếp tuyến.
  • Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.