Trọng tâm của tam giác là một điểm, nó là nơi giao nhau của ba đường trung tuyến.
Giả sử cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AD, BE, CF. Gọi G là giao điểm của 3 đường trung tuyến trên thì G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 1:
$AG=\dfrac{2}{3}AM =\dfrac{2}{3}.12 =8cm$
$GM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{1}{3}.12 =4cm$
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC?
Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AE = \frac{2}{3}AM\)
\( \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A
\(\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}\)
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét \(\Delta BNG \ và \ \Delta CGM\) ta có:
BG = CN
GN = GM
\(\widehat{BGN}= \widehat{CGM}\) ( 2 goc đối đỉnh)
Suy ra : \(\Delta BNG \ đồng \ dạng \ \Delta CMG\)
Suy ra: BN = CM (1)
mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)
Từ (1) và (2) ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).
1. Tính chất trọng tâm của tam giác
Cho tam giác ABC thì trọng tâm G của tam giác có tính chất:- Tính chất: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Nghĩa là $AG = \frac{2}{3}AD;\,BG = \frac{2}{3}BE;\,CG = \frac{2}{3}CF$
2. Xác định trọng tâm của một tam giác
Để xác định trọng tâm của tam giác ta có 2 cách sau. Cách thực hiện như sau:Cách 1:
- Tìm trung điểm D của BC sao cho BD = CD
- Nối A với D ta được đường trung tuyến AD.
- Tương tự với các đường trung tuyến còn lại.
- Giao 3 đường trung tuyến là điểm G. Suy ra G chính là trọng tâm tam giác ABC.
- Tìm trung điểm D của BC sao cho BD = CD
- Nối A với D ta được đường trung tuyến AD.
- Trên đoạn thẳng AD lấy điểm G sao cho $AG = \frac{2}{3}AD$
- Vậy theo tính chất trọng tâm ta có G chính là trọng tâm tam giác ABC.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biết AM là đường trung tuyến với M thuộc cạnh BC và AM=12cm. Tính độ dài đoạn AG và GM.Hướng dẫn
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:$AG=\dfrac{2}{3}AM =\dfrac{2}{3}.12 =8cm$
$GM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{1}{3}.12 =4cm$
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC?
Hướng dẫn giải
\(AD = DE = EM = \frac{1}{3}AM \Rightarrow AE = \frac{2}{3}AM\)Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AE = \frac{2}{3}AM\)
\( \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A
Hướng dẫn
Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:\(\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}\)
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét \(\Delta BNG \ và \ \Delta CGM\) ta có:
BG = CN
GN = GM
\(\widehat{BGN}= \widehat{CGM}\) ( 2 goc đối đỉnh)
Suy ra : \(\Delta BNG \ đồng \ dạng \ \Delta CMG\)
Suy ra: BN = CM (1)
mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)
Từ (1) và (2) ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).