Dưới đây là những công thức thường gặp trong giải tích toán 12. Bài viết ngoài hệ thống lý thuyết nguyên hàm đầy đủ còn có bảng 29 công thức được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao
I. Khái niệm nguyên hàm
1) $\int{k.dx=k.x+C}$
2) $\int{{{x}^{n}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C}$
3) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{x}+C}$
4) $\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$
5) $\int{\frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx=-\frac{1}{a(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C}$;
6) $\int{\frac{1}{(ax+b)}dx=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$
7) $\int{\sin x.dx=-\cos x+C}$
8) $\int{\cos x.dx=\sin x+C}$
9) $\int{\sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
10) $\int{\cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
11) $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{(1+}t{{g}^{2}}x).dx=tgx+C}$
12) $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=\int{\left( 1+\cot {{g}^{2}}x \right)dx=}-\cot gx+C}$
13) $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tg(ax+b)+C}$
14) $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}\cot g(ax+b)+C}$
15) $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$ 16) $\int{{{e}^{-x}}dx=-{{e}^{-x}}+C}$
17) $\int{{{e}^{(ax+b)}}dx=\frac{1}{a}{{e}^{(ax+b)}}+C}$
18) $\int{{{(ax+b)}^{n}}.dx=\frac{1}{a}.\frac{{{(ax+b)}^{n+1}}}{n+1}+C}$ (n$\ne $1)
19) $\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}$ 20) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}dx=arctgx+C}$
21) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C}$
22) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C}$
23) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}$
24) $\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx=\arcsin x+C}$
25) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C}$
26) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1} \right|+C}$
27) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C}$
28) $\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C}$
29) $\int{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}\pm \frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C}$
- Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: $F'(x)=f(x)$, ∀x ∈ K
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: $\int{f(x)}dx=F(x)+C$, C ∈ R.
- Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
- $\int{f'(x)}dx=f(x)+C$
- $\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]}dx=\int{f(x)}dx\pm \int{g(x)}dx$
- $\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx(k\ne 0)$
1) $\int{k.dx=k.x+C}$
2) $\int{{{x}^{n}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C}$
3) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{x}+C}$
4) $\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$
5) $\int{\frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx=-\frac{1}{a(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C}$;
6) $\int{\frac{1}{(ax+b)}dx=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$
7) $\int{\sin x.dx=-\cos x+C}$
8) $\int{\cos x.dx=\sin x+C}$
9) $\int{\sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
10) $\int{\cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
11) $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{(1+}t{{g}^{2}}x).dx=tgx+C}$
12) $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=\int{\left( 1+\cot {{g}^{2}}x \right)dx=}-\cot gx+C}$
13) $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tg(ax+b)+C}$
14) $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}\cot g(ax+b)+C}$
15) $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$ 16) $\int{{{e}^{-x}}dx=-{{e}^{-x}}+C}$
17) $\int{{{e}^{(ax+b)}}dx=\frac{1}{a}{{e}^{(ax+b)}}+C}$
18) $\int{{{(ax+b)}^{n}}.dx=\frac{1}{a}.\frac{{{(ax+b)}^{n+1}}}{n+1}+C}$ (n$\ne $1)
19) $\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}$ 20) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}dx=arctgx+C}$
21) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C}$
22) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C}$
23) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}$
24) $\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx=\arcsin x+C}$
25) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C}$
26) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1} \right|+C}$
27) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C}$
28) $\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C}$
29) $\int{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}\pm \frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C}$
Tải file pdf
Sửa lần cuối: