Tính \(S = a + 2b + c\)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi\((P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (với \(a > 0,b > 0,c > 0\)) là mặt phẳng đi qua điểm \(H(1;1;2)\) và cắt \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\)sao cho khối tứ diện \(OABC\) có thể tích nhỏ nhất. Tính \(S = a + 2b + c\).
A. \(S = 15\).
B. \(S = 5\).
C. \(S = 10\).
D. \(S = 4\).
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Ta có: \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\).
Vì \(H \in (P)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\) (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\) và \(\frac{2}{c}\), ta có:
\({\left( {\frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}}}{3}} \right)^3} \ge \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{2}{c}\) (2) (dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\))
Từ (1) và (2), suy ra \(abc \ge \frac{2}{{27}}\), hay \(V \ge \frac{4}{9}\); \(V = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\), suy ra \(a = b = 3,c = 6\)(do (1)).
Vậy: \(S = a + 2b + c = 15\)