Tinh nguyen ham cua lnx

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Tính nguyen ham cua lnx là một trường hợp đặc biệt trong chủ đề tìm nguyên hàm của hàm logarit. Bài viết dưới đây trình bày từ căn bản tới nâng cao:
Ví dụ1:
Tìm nguyên hàm logarit của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Lời giải
\(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {2 - \frac{3}{{x + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = 2{\rm{x}} - 3\ln \left| {x + 1} \right| + C\)

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I = \int x \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}dx.$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}}\\
{dv = xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{ – 1}}{{1 – {x^2}}}dx}\\
{v = \frac{1}{2}{x^2}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\left( {\frac{1}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}} – \frac{1}{2}} \right)} dx + C$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} \right| – \frac{1}{2}x + C.$

Ví dụ 3: Hãy tìm nguyen ham cua ham lnx sau: \(∫xln(1+x)dx\);
Lời giải
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \int {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} } \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\\= \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C.\end{array}\)

Câu 4: Tính nguyên hàm của hàm logarit sau \(\int {{2^{\sqrt x }}} {{\ln 2} \over {\sqrt x }}dx\)
Lời giải
Ta có: \(\int {{2^{\sqrt x }}} .{{\ln 2} \over {\sqrt x }}dx = 2\int {{2^{\sqrt x }}.\ln 2.d(\sqrt x } ) = {2.2^{\sqrt x }} + C\)