Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng \(MN = 4.\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{x}} - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10{\rm{x}} + 6y - 10{\rm{z}} + 39 = 0.\) Từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng \(MN = 4.\)
A. 5
B. 3
C. \(\sqrt 6 .\)
D. \(\sqrt {11} .\)

Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;5), bán kính \(R = 2\sqrt 5 .\)
Ta giác IMN vuông tại N nên \(IM = \sqrt {I{N^2} + M{N^2}} = \sqrt {20 + 16} = 6\)
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 = IM\)
Do đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Ta có: Đường thẳng IM đi qua I(5;-3;5) vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm VTCP nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 - 2t\\z = 5 + 2t\end{array} \right.\)
\(M \in IM \Rightarrow M\left( {t + 5; - 3 - 2t;2t + 5} \right)\)
Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow t + 5 - 2\left( { - 2t - 3} \right) + 2\left( {2t + 5} \right) - 3 = 0 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow M\left( {3;1;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {11} .\)