Tính khoảng cách d từ \(M\left( {1;1;1} \right)\) tới mặt phẳng (P)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với a,b,c dương thỏa mãn \(a + b + c = 6\). Biết rằng a, b, c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách d từ \(M\left( {1;1;1} \right)\) tới mặt phẳng (P).
A. \(d = \sqrt 3 \)
B. \(d = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
D. d=0

Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác OAB vuông tại O ta dựng đường thẳng Mt qua M vuông góc với (OAB) tại M.
Khi đó Mt cắt trung trực của OC tại điểm \(I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)\) và I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Ta có: \({x_1} + {y_1} + {z_1} = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow A,B,C \in (P):x + y + z + 3\) cố định
Khi đó \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 0\)