Tính khoảng cách d từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a+b+c=2. Biết rằng khi a,b,c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách d từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P).
A. \(d = 2017.\)
B. \(d = \frac{{2014}}{{\sqrt 3 }}.\)
C. \(d = \frac{{2016}}{{\sqrt 3 }}.\)
D. \(d = \frac{{2015}}{{\sqrt 3 }}.\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải

Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC.
Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB)
Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại \(I({x_1};{y_1};{z_1})\) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và \({z_1} = \frac{c}{2}\) (do DOKI là hình chữ nhật).
Tương tự: \(DF = \frac{a}{2} \Rightarrow {x_1} = \frac{a}{2};{y_1} = \frac{b}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)\)
Suy ra: \({x_1} + {y_1} + {z_1} = \frac{{a + b + c}}{2} = 1 \Rightarrow I \in (P):x + y + z - 1 = 0\)
Vậy khoảng cách từ điểm M đến (P) bằng \(d = \frac{{2015}}{{\sqrt 3 }}.\)