Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A.BCD

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Cho tứ giác ABCD có \(A\left( {0;1; - 1} \right),B\left( {1;1;2} \right),C\left( {1; - 1;0} \right),D\left( {0;0;1} \right)\). Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A.BCD.
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(2\sqrt 2 \)
D. \(3\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2; - 2} \right);\overrightarrow {B{\rm{D}}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right] = \left( {0;1; - 1} \right)\) là VTPT của (BCD).
Phương trình tổng quát của (BCD): \(\left( {x - 1} \right)0 + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 0\)
Hay \(\left( {BC{\rm{D}}} \right):y - z + 1 = 0\)
\(AH = d\left( {A,BC{\rm{D}}} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)