Tính diện tích tam giác đều

Bài viết hướng dẫn tính diện tích tam giác đều và những cơ sở lý thuyết căn bản cũng như ví dụ minh họa được sắp xếp theo mạch tư duy giúp bạn hiểu sâu, nhớ lâu.

1. Tam giác đều là gì?

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60°.

2. Tam giác đều có tính chất gì

Những tính chất cơ bản của tam giác đều

• Tính chất 1: Trong một tam giác đều có ba góc bằng nhau $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C}$ = 60⁰
• Tính chất 2: Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau AB = BC = CA.
• Tính chất 3: Các đường trung tuyến, phân giác, đường cao trùng nhau.

3. Tính diện tích tam giác đều

Giả sử tam giác ABC có hai cạnh bên độ dài AB = AC = BC = a thì công thức diện tích tam giác đều có dạng
\[{S_{ABC}} = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} (*)\]
Chứng minh công thức (*):
Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau: AB = BC = CA = a (1)
Từ hình vẽ:
$\begin{array}{l} A{H^2} = A{B^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}A{B^2}\\ \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \end{array}$ (2)
Diện tích tam giác bất kì được tính theo công thức ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH$ (3)
Từ (1), (2), (3): ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
Kết luận: Diện tích tam giác đều được tính bằng công thức nhanh ${S_{ABC}} = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} $

4. Ví dụ minh họa

VD 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh là ${\sqrt 3 }$ cm. Hãy tính diện tích tam giác.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều (*), ta có:
\[{S_{\Delta ABC}} = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 0,75\left( {c{m^2}} \right)\]
Đáp án: S = 0,75 (cm²)

VD 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài bằng nhau và bằng ${2\sqrt 3 }$ cm. Hãy tính diện tích tam giác.
Vì tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên nó là tam giác đều. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều (*), ta có:
\[{S_{\Delta ABC}} = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3\left( {c{m^2}} \right)\]
Đáp án: S = 3 (cm²)

VD 3: Cho tam giác ABC có diện tích là ${\sqrt 3 }$ cm², biết rằng hai góc ở đáy của tam giác đó bằng nhau và bằng 60⁰. Hãy tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác
Tam giác mà có góc ở hay đáy bằng nhau và bằng 60⁰ thì đó là tam giác đều. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều (*), ta có:
\[{S_{\Delta ABC}} = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {a^2} = {S_{\Delta ABC}}.\frac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow a = \sqrt {{S_{\Delta ABC}}.\frac{4}{{\sqrt 3 }}} \]
Thay số: $a = \sqrt {{S_{\Delta ABC}}.\frac{4}{{\sqrt 3 }}} = \sqrt {\sqrt 3 .\frac{4}{{\sqrt 3 }}} = \sqrt 4 = 2\left( {cm} \right)$
Đáp án: S = 2 (cm²)

Dựa vào lý thuyết, những ví dụ căn bản trên hy vọng bạn sẽ biết cách tính các bài tương tự diện tích tam giác đều!