Cách tính diện tích hình thoi, chu vi hình thoi dễ học dễ nhớ bởi hình thoi mang đầy đủ các tính chất cơ bản của hình bình hành như góc đối bằng nhau, cặp cạnh đối song song, ... Bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn về cách tính diện tích hình thoi, chu vi hình thoi.
\[{S_{\Delta ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD\]
Kết luận: Chu vi hình thoi có độ lớn là 12 cm.
Ví dụ 2: Một hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3 cm và 4 cm. Hãy tính diện tích hình thoi.
Kết luận: Diện tích hình thoi 6 cm2
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có độ dài AB = 10 cm, đường chéo AC = 16 cm. Tính diện tích hình thoi ABCD
Xét tam giác vuông BOC ta có \(OB^{2} = BC^{2} – OC^{2} = 10^{2} – 8 ^{2} = 36\)
\(\Rightarrow OB = 6 (cm)\)
Suy ra độ dài đường chéo DB = 2.BO = 2.6 = 12
Suy ra S hình thoi là \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.12.16 = 96\) (\(cm^{2}\))
Kết luận: Diện tích S hình thoi 96 cm2.
Ví dụ 4: Tính S hình thoi ABCD có góc \(\widehat{A} = 30^{\circ}\), biết AD = 5cm.
Gọi H là trung điểm của 2 đường chéo. \(\Rightarrow AH\perp BD và \widehat{HAB} = 15^{\circ}\)
\(\Rightarrow AH = AB\cos \widehat{HAB} = 5.\cos 15^{\circ} = 4,8\)
Áp dụng định lý Pitago trong \(\Delta ABH\) ta có:
\(BH^{2} = AB^{2} – AH^{2} = 5^{2} – 4,8^{2} \Rightarrow AH = 1,4 (cm)\)
\(\Rightarrow DB = 2HB = 2,8 (cm)\)
\(S_{ABCD} = 2. S_{ABD} = 2. \frac{1}{2} BD.AH = 2,8.4,8 = 13,44\) \(cm^{2}\)
Kết luận: Diện tích S hình thoi 13,44 cm2.
Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O.
a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì ?
b) Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo AC và BD.
b) Xét \(ΔAOB\) và \(ΔCOB\)
+) \(AB = CB\)
+) \(BO\) chung
+) \(OA = OC\) (\(O\) là trung điểm \(AC\) )
\(⇒ ΔAOB = ΔCOB\;\; (c.c.c)\)
\(⇒ \widehat {ABO} = \widehat {CBO};\,\,\widehat {AOB} = \widehat {COB}\) (các cặp góc tương ứng)
\(\widehat {ABO} = \widehat {CBO} ⇒ BO\) là phân giác góc \(ABC\).
\(\eqalign{
& \widehat {AOB} + \widehat {COB} = {180^o} \cr
& \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {COB} = {180^o}:2 = {90^o} \cr} \)
\( \Rightarrow AC \bot BD\)
Chứng minh tương tự, ta kết luận được:
\(AC, BD\) là các đường phân giác của các góc của hình thoi và \(AC ⊥ BD\) tại \(O\).
Ví dụ 4: Hai đường chéo của một hình thoi bằng \(8cm\) và \(10cm\). Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị là bao nhiêu
\(ABCD\) là hình thoi, \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC=10\,cm\); \(BD=8\,cm\)
Theo tính chất của hình thoi hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OA = \dfrac{{AC}}{2}\\
OB = \dfrac{{B{\rm{D}}}}{2}
\end{array} \right.\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABO\) ta có:
\(\eqalign{
& A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {{1 \over 2}AC} \right)^2} + {\left( {{1 \over 2}BD} \right)^2} \cr
& \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}AC} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}BD} \right)}^2}}\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt { {5^2}+{4^2} } = \sqrt {41} cm \cr} \)
Kế luận: Cạnh của hình thoi có giá trị $\sqrt {41} \left( {cm} \right)$
1. Hình thoi là gì?
Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.2. Tính chất của hình thoi
Những tính chất thường gặp của hình thoi- Tính chất 1: Hai góc đối bằng nhau
- Tính chất 2: Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt tại trung điểm của mỗi đường đồng thời là đường phân giác của các góc.
- Tính chất 3: Hình thoi cũng có đầy đủ các tính chất của hình bình hành.
3. Công thức tính diện tích hình thoi
Giả sử hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo là AC và BD thì diện tích hình thoi được tính theo công thức\[{S_{\Delta ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD\]
4. Chu vi hình thoi
Giả sử hình thoi ABCD có độ dài mỗi cánh là a thì chu vi hình thoi được tính theo công thứcP = a.4 = 4a
5. Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Dựa vào những dấu hiệu sau, ta có thể nhận biết tứ giác sau có phải là hình thoi:- Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành với hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành với hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành với một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hình thoi có độ dài cạnh bên là 3 cm. Hãy tính chu vi?Hướng dẫn
Công thức tính chu vi hình thoi: P = 4.a = 4.3 = 12 cmKết luận: Chu vi hình thoi có độ lớn là 12 cm.
Ví dụ 2: Một hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3 cm và 4 cm. Hãy tính diện tích hình thoi.
Hướng dẫn
Công thức tính diện tích hình thoi: ${S_{\Delta ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.3.4 = 6\left( {c{m^2}} \right)$Kết luận: Diện tích hình thoi 6 cm2
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có độ dài AB = 10 cm, đường chéo AC = 16 cm. Tính diện tích hình thoi ABCD
Hướng dẫn
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, ta có \(OC =\frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8\)Xét tam giác vuông BOC ta có \(OB^{2} = BC^{2} – OC^{2} = 10^{2} – 8 ^{2} = 36\)
\(\Rightarrow OB = 6 (cm)\)
Suy ra độ dài đường chéo DB = 2.BO = 2.6 = 12
Suy ra S hình thoi là \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.12.16 = 96\) (\(cm^{2}\))
Kết luận: Diện tích S hình thoi 96 cm2.
Ví dụ 4: Tính S hình thoi ABCD có góc \(\widehat{A} = 30^{\circ}\), biết AD = 5cm.
Hướng dẫn
Do ABCD là hình thoi nên các tam giác đều là tam giác cân.Gọi H là trung điểm của 2 đường chéo. \(\Rightarrow AH\perp BD và \widehat{HAB} = 15^{\circ}\)
\(\Rightarrow AH = AB\cos \widehat{HAB} = 5.\cos 15^{\circ} = 4,8\)
Áp dụng định lý Pitago trong \(\Delta ABH\) ta có:
\(BH^{2} = AB^{2} – AH^{2} = 5^{2} – 4,8^{2} \Rightarrow AH = 1,4 (cm)\)
\(\Rightarrow DB = 2HB = 2,8 (cm)\)
\(S_{ABCD} = 2. S_{ABD} = 2. \frac{1}{2} BD.AH = 2,8.4,8 = 13,44\) \(cm^{2}\)
Kết luận: Diện tích S hình thoi 13,44 cm2.
Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O.
a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì ?
b) Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo AC và BD.
Hướng dẫn
a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.b) Xét \(ΔAOB\) và \(ΔCOB\)
+) \(AB = CB\)
+) \(BO\) chung
+) \(OA = OC\) (\(O\) là trung điểm \(AC\) )
\(⇒ ΔAOB = ΔCOB\;\; (c.c.c)\)
\(⇒ \widehat {ABO} = \widehat {CBO};\,\,\widehat {AOB} = \widehat {COB}\) (các cặp góc tương ứng)
\(\widehat {ABO} = \widehat {CBO} ⇒ BO\) là phân giác góc \(ABC\).
\(\eqalign{
& \widehat {AOB} + \widehat {COB} = {180^o} \cr
& \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {COB} = {180^o}:2 = {90^o} \cr} \)
\( \Rightarrow AC \bot BD\)
Chứng minh tương tự, ta kết luận được:
\(AC, BD\) là các đường phân giác của các góc của hình thoi và \(AC ⊥ BD\) tại \(O\).
Ví dụ 4: Hai đường chéo của một hình thoi bằng \(8cm\) và \(10cm\). Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị là bao nhiêu
Hướng dẫn
Xét bài toán tổng quát:\(ABCD\) là hình thoi, \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC=10\,cm\); \(BD=8\,cm\)
Theo tính chất của hình thoi hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OA = \dfrac{{AC}}{2}\\
OB = \dfrac{{B{\rm{D}}}}{2}
\end{array} \right.\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABO\) ta có:
\(\eqalign{
& A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {{1 \over 2}AC} \right)^2} + {\left( {{1 \over 2}BD} \right)^2} \cr
& \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}AC} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}BD} \right)}^2}}\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt { {5^2}+{4^2} } = \sqrt {41} cm \cr} \)
Kế luận: Cạnh của hình thoi có giá trị $\sqrt {41} \left( {cm} \right)$
Sửa lần cuối: