Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh A .
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh  A.png

Cho tứ diện ABCD đều cạnh A . Gọi I là trung điểm cạnh BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,AG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và DG là trục của tam giác ABC. Trong mp(DAG) kẻ trung trực của DA cắt DG tại O thì OD = OA = OB = OC nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn OD.
Trong tam giác ADG vuông tại G, ta có:
\(D{A^2} = D{G^2} + G{A^2} \Rightarrow D{G^2} = D{A^2} - G{A^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{6{a^2}}}{9}\)\( \Rightarrow DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Mặt khác do tứ giác AGOI nội tiếp nên ta có: \(DJ.DA = DO.DG \Rightarrow DO = \frac{{D{A^2}}}{{2DG}} \Rightarrow R = DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Gợi ý: Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
Nhận xét: Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều. Tứ diện đều cũng là một hình chóp tam giác đều.
  • R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình: Chóp, Nón, Lăng trụ, Trụ
  • Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên.
  • h là đường cao của khối Chóp, Nón, Lăng trụ, Trụ
  • (O; O') là tâm đáy (O' trong trường hợp lăng trụ, Trụ)
  • Sd là diện tích đáy
Công thức tính Rd
bán kinh mặt cầu ngoại tiếp.png
 
Sửa lần cuối: