Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng A , cạnh bên bằng \(2a\).
A. \(\frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\).
B. \(\frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\).
C. \(\frac{{2a\sqrt 7 }}{{3\sqrt 2 }}\).
D. \(\frac{{2a\sqrt 2 }}{7}\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Gọi H là tâm đáy thì \(SH\) là trục của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của \(SD\), trong mp \((SDH)\) kẻ trung trực của đoạn \(SD\) cắt \(SH\) tại O thì $OS = OA = OB = OC = OD$ nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Bán kính mặt cầu là \(R = SO\).
Ta có $\Delta SMO \sim \Delta SHD \Rightarrow \frac{{SO}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SH}} \Rightarrow R = SO = \frac{{SD.SM}}{{SH}} = \frac{{S{D^2}}}{{2SH}}$.
Với \(S{H^2} = S{D^2} - H{D^2} = 4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy \(R = \frac{{S{D^2}}}{{2SH}} = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\).
A. \(\frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\).
B. \(\frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\).
C. \(\frac{{2a\sqrt 7 }}{{3\sqrt 2 }}\).
D. \(\frac{{2a\sqrt 2 }}{7}\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Gọi H là tâm đáy thì \(SH\) là trục của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của \(SD\), trong mp \((SDH)\) kẻ trung trực của đoạn \(SD\) cắt \(SH\) tại O thì $OS = OA = OB = OC = OD$ nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Bán kính mặt cầu là \(R = SO\).
Ta có $\Delta SMO \sim \Delta SHD \Rightarrow \frac{{SO}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SH}} \Rightarrow R = SO = \frac{{SD.SM}}{{SH}} = \frac{{S{D^2}}}{{2SH}}$.
Với \(S{H^2} = S{D^2} - H{D^2} = 4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy \(R = \frac{{S{D^2}}}{{2SH}} = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\).