Tìm tất cả các số dương n để 5$^n$ + 1 chia hết cho 7$^{2000}$.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Tìm tất cả các số dương n để 5$^n$ + 1 chia hết cho 7$^{2000}$.
Giải​
Ta đi thực hiện theo các phần sau:
a. Đặt a$_k$ = 6.7$^{k – 1}$ (k ≥ 1), khi đó ${5^{{a_k}}}$ – 1 chia hết cho 7$^k$ nhưng không hoàn toàn chia hết cho 7$^{k + 1}$, ta đi chứng minh nhận định này bằng phương pháp quy nạp như sau:
* Với k = 1 đúng.
* Giả sử đúng với k, khi đó ta có: ${5^{{a_{k + 1}}}}$ – 1 = ${5^{7{a_k}}}$ – 1 = (${5^{{a_k}}}$ – 1)A
trong đó: A = ${5^{6{a_k}}}$ + ${5^{5{a_k}}}$ + … + ${5^{{a_k}}}$ + 1 = u$^6$ + u$^5$ + … + u + 1
với u = ${5^{{a_k}}}$ ≡ 1 (mod 7).
Suy ra: A = $\sum\limits_{i = 0}^6 {{{(7t + 1)}^i}} $ ≡ 7 (mod 7$^2$)
Từ đó và giả thiết quy nạp suy ra: ${5^{{a_{k + 1}}}}$ – 1 ⋮ 7$^{k + 1}$ và không chia hết cho 7$^{k + 2}$.

b. Nhận xét rằng "nếu 5$^n$ ≡ 1 (mod 7$^k$) thì n ⋮ a$_k$", ta đi chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp theo k như sau:
* Với k = 1 đúng.
* Ta chứng minh đúng với k + 1.
Nếu: 5$^n$ ≡ 1 (mod 7$^{k + 1}$) => 5$^n$ ≡ 1 (mod 7$^k$) => n = ta$_k$ (t ∈ N*) do quy nạp.
Ta có: 5$^n$ – 1 = (${5^{{a_k}}}$ – 1)B
trong đó: B = $\sum\limits_{i = 0}^{t - 1} {{{\left( {{5^{{a_k}}}} \right)}^i}} $ ≡ t (mod 7) vì ${5^{{a_k}}}$ ≡ 1 (mod 7).
Theo a), ta phải có: B ≡ 0 (mod 7) <=> t ⋮ 7 <=> n ⋮ a$_{k + 1}$ = 7a$_k$.
c. Giả sử 5$^n$ ≡ – 1 (mod 7$^k$) => 5$^{2n}$ ≡ 1 (mod 7$^k$).
Theo b), ta có: 2n ⋮ a$_k$ <=> n = 3.7$^{k – 1}$t (t ∈ Z).
Vì: ${\left( {{5^{{{3.7}^{k - 1}}}}} \right)^2}$ = ${5^{{a_k}}}$ ≡ 1 (mod 7$^k$) và ${5^{{{3.7}^{k - 1}}}}$ ≠ 1 (mod 7$^k$)
do b) nên: ${5^{{{3.7}^{k - 1}}}}$ ≡ – 1 (mod 7$^k$)
thành thử: 5$^n$ ≡ ( – 1)$^t$ ≡ – 1 (mod 7$^k$)
<=> ( – 1)$^t$ ≡ – 1 (mod 7$^k$) <=> t lẻ.
Đảo lại, nếu n = 3.7$^{k – 1}$t với t lẻ thì 5$^n$ ≡ ( – 1)$^t$ ≡ – 1 (mod 7$^k$)
Vậy, ta được n = 3t.7$^{k – 1}$ = 3t.7$^{1999}$ với t lẻ, t ∈ N*.
 

Bài mới