Toán 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số...

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^2} + m\left( {\sqrt {4 - {x^2}} + 1} \right) - 7\) có điểm chung với trục hoành.
A. \(0 \le m \le 3.\)
B. \( - 1 \le m \le \frac{7}{3}.\)
C. \(2 \le m \le \frac{7}{3}.\)
D. \(2 \le m \le 3.\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là \({x^2} + m\left( {\sqrt {4 - {x^2}} + 1} \right) - 7 = 0\,\,\,\left( * \right).\)
Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\), khi đó (*) trở thành: \( - {t^2} + m\left( {t + 1} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}},\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right];\,\,\,f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 3\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow 2 \le m \le 3.\)