Tìm m để phương trình 2sinx + mcosx = 1 - m có nghiệm

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Tìm m để phương trình $2sinx + mcosx = 1 - m\,\,(1)$ có nghiệm $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$.
A. $ - {\rm{ }}3 \le m \le 1$
B. $ - {\rm{ }}2 \le m \le 6$
C. $1 \le m \le 3$
D. $ - {\rm{ }}1 \le m \le 3$
Đáp án D
$m(1 + cosx) = 1 - 2\sin x\,\,$
Vì: $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $1 + cosx > 0$ do đó:
$m = \frac{{1 - 2\sin x}}{{1 + cosx}} \Leftrightarrow m = \frac{{1 - 4\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}{{2co{s^2}x}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}({\tan ^2}\frac{x}{2} + 1) - 2\tan \frac{x}{2}$
$ \Leftrightarrow 2m = {\tan ^2}\frac{x}{2} - 4\tan \frac{x}{2} + 1$
Cách 1: $2m = {\tan ^2}\frac{x}{2} - 4\tan \frac{x}{2} + 1 \Leftrightarrow 2m = {(2 - \tan \frac{x}{2})^2} - 3$
Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $ - 1 \le \tan \frac{x}{2} \le 1 \Leftrightarrow 1 \le 2 - \tan \frac{x}{2} \le 3 \Leftrightarrow 1 \le {(2 - \tan \frac{x}{2})^2} \le 9 \Leftrightarrow - 2 \le {(2 - \tan \frac{x}{2})^2} - 3 \le 6$
Vậy: $ - 2 \le 2m \le 6 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3$
Cách 2:
Đặt: $t = \tan \frac{x}{2}$ ta có $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thì $t \in \left[ { - 1;1} \right]$ khi đó ta có: $2m = {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} - 4{\mathop{\rm t}\nolimits} + 1\,$ với $t \in \left[ { - 1;1} \right]$$P(t) = {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} - 4{\mathop{\rm t}\nolimits} + 1\,\,(P)$
Do $\,(P)$ là parabol có hệ số $a > 0\,$và đỉnh $I(2; - 3)$ nên$\,(P)$ đi xuông trên $\left[ { - 1;1} \right]$ do đó đường thẳng $y = 2m$ cắt$\,(P)$ với $t \in \left[ { - 1;1} \right]$ khi: $P( - 1) \le 2m \le P(1) \Leftrightarrow - 2 \le 2m \le 6 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3$