Toán 12 Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

Tìm m để hàm số nghịch biến trên R là dạng toán hay lớp 12. Giống như tìm m để hàm số đồng biến trên R, ta chỉ cần biện luận giá trị m sao cho f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R là hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định.

I. Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Hàm y = f(x) nghịch biến (tăng) trên R nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.
Điều kiện: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Để hàm số nghịch biến trên tập xác định R thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Quy Tắc tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R như sau:
Bước 1. Tìm tập xác định R.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m để f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn

II. Ví dụ

Câu 1: Tìm m đề hàm số $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} + 3m(m - 2)x + 1$ nghịch biến trên R


Câu 2. Cho hàm số $y = {x^2}(m - x) - m$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định R
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y' = - {x^3} + m{x^2} - m$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow - {x^3} + m{x^2} - m \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = - 1 < 0 \\ \Delta = {m^2} \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m = 0 \\ \end{array} $
Kết luận: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Câu 3. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} - x$. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y' = - m{x^2} + 2mx - 1$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = - 1 < 0 \Rightarrow $ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 1 \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = - m < 0 \\ \Delta ' = {m^2} - m \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} m > 0 \\ 0 \leqslant m \leqslant 1 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\ \end{array} $
Kết luận: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + \frac{1}{3}$. Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y' = m{x^2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2)$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 6 \Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow m{x^2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2) \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = m < 0 \\ \Delta = - 2{m^2} + 4m + 1 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2} \\ \end{array} $

Câu 5. Định m để hàm số $y = \frac{{1 - m}}{3}{x^3} - 2(2 - m){x^2} + 2(2 - m)x + 5$ luôn luôn giảm
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y' = (1 - m){x^2} - 4(2 - m)x + 4 - 2m$
Trường hợp 1: $m = 1 \Rightarrow y' = - 4x + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}$ nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 1$
Hàm số luôn giảm khi $\left\{ \begin{array} a = 1 - m < 0 \\ \Delta ' = 2{m^2} - 10m + 12 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} m > 1 \\ 2 \leqslant m \leqslant 3 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \leqslant m \leqslant 3$

Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} - (m + 2){x^2} + (m - 8)x + {m^2} - 1$. Tìm m để đồ thị hàm số nghịch biến trên R
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y' = (m + 2){x^2} - 2(m + 2)x + m - 8$
Trường hợp 1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow y' = - 10 \Rightarrow $ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne - 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow (m + 2){x^2} - 2(m + 2)x + m - 8 \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = m + 2 < 0 \\ \Delta ' = {(m + 2)^2} - (m + 2)(m - 8) \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m < - 2 \\ \end{array} $
Kết luận: Với m < - 2 thì đồ thị hàm số nghịch biến trên tập xác định R

Câu 7. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}(m + 3){x^3} - 2{x^2} + mx$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y' = (m + 3){x^2} - 4x + m$
Trường hợp 1: $m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \Rightarrow y' = - 4x - 3 \Rightarrow $ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne - 3$.
Hàm số luôn nghịch biến khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow (m + 3){x^2} - 4x + m \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = m + 3 < 0 \\ \Delta = - {m^2} - 3m + 4 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m \leqslant - 4 \\ \end{array} $

Câu 8. Cho hàm số $y = {x^2}(m - x) - mx + 6$. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Tập xác định: D = R.
Lấy đạo hàm: $y' = - 3{x^2} + 2mx - m$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow - 3{x^2} + 2mx - m \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = - 3 < 0 \\ \Delta = {m^2} - 3m \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 3 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $0 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Câu 9. Cho hàm số $y = - \frac{1}{3}{x^3} + (m - 1){x^2} + (m + 3)x + 4$. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Tập xác định: D = R.
Lấy đạo hàm: $y' = - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3$
Hàm số luôn luôn giảm khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3 \leqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = - 1 < 0 \\ \Delta ' = {m^2} - m + 4 \leqslant 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\ \end{array} $
Kết luận: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán