Tìm m để hàm số đồng biến trên R là một bài toán cơ bản. Giống như tìm m để hàm số nghịch biến trên R, ta biện luận giá trị m sao cho f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ R là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định đó.
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Hàm y = f(x) đồng biến (tăng) trên R nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
Điều kiện: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Để hàm số đồng biến trên tập xác định R thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Quy Tắc tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R như sau:
Bước 1. Tìm tập xác định R.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m để f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn
Câu 1. Cho hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Câu 2. Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 2(m - 1)x - 2$ luôn tăng trên tập xác định.
Lấy đạo hàm: $y' = {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1)$
Hàm số luôn tăng trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1) \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 1 > 0 \\ \Delta ' = (m - 1)(m - 3) \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 3 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $1 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Câu 3. Tìm m đề hàm số $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} + 3m(m - 2)x + 1$ đồng biến trên R
Lấy đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x + 3m(m - 2)$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3 > 0 \\ \Delta ' = 6m + 9 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m \leqslant - \frac{3}{2} \\ \end{array} $
Kết luận: Với m ≤ - 3/2 thì hàm số đồng biến trên R
Câu 4. Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3(2m - 1)x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lấy đạo hàm hàm số: $y' = 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1)$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1) \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 1 > 0 \\ \Delta ' = {m^2} - 2m + 1 \geqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m = 1 \\ \end{array} $
Kết luận: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa
Câu 5: Để hàm số sau $y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 1$ luôn đồng biến thì m phải thỏa mãn điều kiện nào?
Lấy đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 2mx + 3$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3 > 0 \\ \Delta ' = {m^2} - 9 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow - 3 \leqslant m \leqslant 3 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $ - 3 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}(\sin m + \cos m){x^2} + \frac{3}{4}x\sin 2m$. Tìm m để hàm số đồng biến R
$y' = {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 1 > 0 \\ \Delta = 1 - 2\sin m \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow 1 - 2\sin m \leqslant 0 \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 2m \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \leqslant m \leqslant \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ \end{array} $
Câu 7. Hãy tìm m để hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} + (m - 1)x + m + 3$ đồng biến trên tập xác định R
Lấy đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 4x + m - 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$ $\begin{array} \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + m - 1 \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3 > 0 \\ \Delta ' = - 3m + 7 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m \geqslant \frac{7}{3} \\ \end{array} $
Kết luận: Với $m \geqslant \frac{7}{3}$ thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định
Câu 8. Cho hàm số $y = m{x^3} - (2m - 1){x^2} + (m - 2)x - 2$. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
$y' = 3m{x^2} - 2(2m - 1)x + m - 2$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 2 \Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đồng biến trên tập xác định R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3m > 0 \\ \Delta ' = {(2m - 1)^2} - 3m(m - 2) \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} m > 0 \\ {m^2} + 2m + 1 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} m > 0 \\ m = - 1 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\ \end{array} $
Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
Câu 9.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{m - 1}}{3}{x^3} + m{x^2} + (3m - 2)x$ luôn tăng
$y' = (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2$
Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow y' = 2x + 1 \Rightarrow $ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$
Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2 \geqslant 0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m - 1 > 0 \\
\Delta ' = - 2{m^2} + 5m - 2 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \geqslant 2 \\
\end{array} $
Kết luận: Với $m \geqslant 2$ thì hàm số luôn tăng
Câu 10.Cho hàm số $y = \frac{1}{3}({m^2} - 1){x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 5$. Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R
$y' = ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3$
Trường hợp 1: ${m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3 \geqslant 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {m^2} - 1 > 0 \\ \Delta = - 2{m^2} + 2m + 4 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m < - 1 \vee m > 2 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $m \leqslant - 1 \vee m > 2$ thì bài toán được thỏa
Câu 11. Cho hàm số$y = \frac{1}{3}\left( {{m^2} + 2m} \right){x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Xác định m để hàm số sau đồng biến trên R
Ta có: $y' = \left( {{m^2} + 2m} \right){x^2} + 2mx + 2$
Xét 2 trường hợp:
* ${m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} m = 0 \\ m = - 2 \\ \end{array} \right.$
+ m = 0 $ \Rightarrow $ $y' \geqslant 0,\forall x$ nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+ m = - 2 $ \Rightarrow y' = - 4x + 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant \frac{1}{2}$ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
* ${m^2} + 2m \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} m \ne 0 \\ m \ne - 2 \\ \end{array} \right.$
Hàm số đồng biến trên R khi $\left\{ \begin{array} a > 0 \\ {\Delta _{y'}} \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {m^2} + 2m > 0 \\ - {m^2} - 4m \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow m \leqslant - 4 \vee m \geqslant 0$
Kết luận: Vậy với $m \leqslant - 4 \vee m \geqslant 0$ thì điều kiện bài toán được thỏa
I. Cơ sở lý thuyết
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Hàm y = f(x) đồng biến (tăng) trên R nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
Điều kiện: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Để hàm số đồng biến trên tập xác định R thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Quy Tắc tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R như sau:
Bước 1. Tìm tập xác định R.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m để f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn
II. Ví dụ
Câu 1. Cho hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Hướng dẫn
Câu 2. Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 2(m - 1)x - 2$ luôn tăng trên tập xác định.
Hướng dẫn
Tập xác định: D = RLấy đạo hàm: $y' = {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1)$
Hàm số luôn tăng trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1) \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 1 > 0 \\ \Delta ' = (m - 1)(m - 3) \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 3 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $1 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Câu 3. Tìm m đề hàm số $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} + 3m(m - 2)x + 1$ đồng biến trên R
Hướng dẫn
Tập xác định: D = R.Lấy đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x + 3m(m - 2)$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3 > 0 \\ \Delta ' = 6m + 9 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m \leqslant - \frac{3}{2} \\ \end{array} $
Kết luận: Với m ≤ - 3/2 thì hàm số đồng biến trên R
Câu 4. Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3(2m - 1)x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Hướng dẫn
Tập xác định: D = RLấy đạo hàm hàm số: $y' = 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1)$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1) \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 1 > 0 \\ \Delta ' = {m^2} - 2m + 1 \geqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m = 1 \\ \end{array} $
Kết luận: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa
Câu 5: Để hàm số sau $y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 1$ luôn đồng biến thì m phải thỏa mãn điều kiện nào?
Hướng dẫn
Tìm tập xác định: D = RLấy đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 2mx + 3$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3 > 0 \\ \Delta ' = {m^2} - 9 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow - 3 \leqslant m \leqslant 3 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $ - 3 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}(\sin m + \cos m){x^2} + \frac{3}{4}x\sin 2m$. Tìm m để hàm số đồng biến R
Hướng dẫn
TXĐ: D = R$y' = {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 1 > 0 \\ \Delta = 1 - 2\sin m \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow 1 - 2\sin m \leqslant 0 \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 2m \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \leqslant m \leqslant \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ \end{array} $
Câu 7. Hãy tìm m để hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} + (m - 1)x + m + 3$ đồng biến trên tập xác định R
Hướng dẫn
Tập xác định: D = R.Lấy đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 4x + m - 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$ $\begin{array} \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + m - 1 \geqslant 0,\forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3 > 0 \\ \Delta ' = - 3m + 7 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m \geqslant \frac{7}{3} \\ \end{array} $
Kết luận: Với $m \geqslant \frac{7}{3}$ thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định
Câu 8. Cho hàm số $y = m{x^3} - (2m - 1){x^2} + (m - 2)x - 2$. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Hướng dẫn
TXĐ: D =R$y' = 3m{x^2} - 2(2m - 1)x + m - 2$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 2 \Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đồng biến trên tập xác định R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} a = 3m > 0 \\ \Delta ' = {(2m - 1)^2} - 3m(m - 2) \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} m > 0 \\ {m^2} + 2m + 1 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} m > 0 \\ m = - 1 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\ \end{array} $
Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
Câu 9.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{m - 1}}{3}{x^3} + m{x^2} + (3m - 2)x$ luôn tăng
Hướng dẫn
TXĐ: D = R$y' = (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2$
Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow y' = 2x + 1 \Rightarrow $ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$
Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2 \geqslant 0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m - 1 > 0 \\
\Delta ' = - 2{m^2} + 5m - 2 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \geqslant 2 \\
\end{array} $
Kết luận: Với $m \geqslant 2$ thì hàm số luôn tăng
Câu 10.Cho hàm số $y = \frac{1}{3}({m^2} - 1){x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 5$. Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R
Hướng dẫn
TXĐ: D = R$y' = ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3$
Trường hợp 1: ${m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$
- $m = 1 \Rightarrow y' = 4x + 3 \Rightarrow $ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
- $m = - 1 \Rightarrow y' = 3 > 0 \Rightarrow $ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array} \Leftrightarrow ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3 \geqslant 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {m^2} - 1 > 0 \\ \Delta = - 2{m^2} + 2m + 4 \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m < - 1 \vee m > 2 \\ \end{array} $
Kết luận: Với $m \leqslant - 1 \vee m > 2$ thì bài toán được thỏa
Câu 11. Cho hàm số$y = \frac{1}{3}\left( {{m^2} + 2m} \right){x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Xác định m để hàm số sau đồng biến trên R
Hướng dẫn
Tập xác định: D = RTa có: $y' = \left( {{m^2} + 2m} \right){x^2} + 2mx + 2$
Xét 2 trường hợp:
* ${m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} m = 0 \\ m = - 2 \\ \end{array} \right.$
+ m = 0 $ \Rightarrow $ $y' \geqslant 0,\forall x$ nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+ m = - 2 $ \Rightarrow y' = - 4x + 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant \frac{1}{2}$ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
* ${m^2} + 2m \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} m \ne 0 \\ m \ne - 2 \\ \end{array} \right.$
Hàm số đồng biến trên R khi $\left\{ \begin{array} a > 0 \\ {\Delta _{y'}} \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {m^2} + 2m > 0 \\ - {m^2} - 4m \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow m \leqslant - 4 \vee m \geqslant 0$
Kết luận: Vậy với $m \leqslant - 4 \vee m \geqslant 0$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Sửa lần cuối: