Bạn đang gặp khó khăn khi tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng hay nghịch biến trên một khoảng phải không? Bạn đang cần một bài hướng dẫn chi tiết giúp bạn vượt qua khó khăn. Xin chúc mừng bạn, đây là bài viết chi tiết về sự biến thiên của hàm số. Bài viết này trình bày khá chi tiết từ cơ sở lý thuyết, các trường hợp có thể xảy ra, các bước làm theo. Để không mất thời gian, mời bạn xem chi tiết:
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Nếu —3 < m < 1 thì y' < 0 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (—∞; —m), (—m; + ∞) .
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{ - 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - 3m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + m + \frac{{1 - 2m}}{{x - 1}}$
+ m > 0,5 khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1 < 1 < x2 => hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1; 1) và (1; x2), trường hợp này không thỏa .
Vậy $m \leqslant \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2m + 1} \right) - 3m + 2$
+ m = - 2,5 thì y' = - (x - 2)$^2$ < 0 với mọi x ∈ R và y' = 0 chỉ tại điểm x = 2
Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m <- 2,5 thì y' < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > - 2,5 thì y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1;x2). Trường hợp này không thỏa mãn.
Ví dụ 4: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = \frac{{\left( {m + 2} \right)}}{3}{x^3} - \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {m - 8} \right)x + {m^2} - 1$
+ m ≠ -2 tam thức y' = (m + 2)x$^2$ - 2(m + 2)x + m - 8 có ∆' = 10(m + 2)
Bảng xét dấu ∆’
+ m < -2 thì y' < 0 với mọi x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > -2 thì y' = 0 có hai nghiệm x1,x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1; x2) . Trường hợp này không thỏa mãn .
Vậy m ≤ -2 là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 5 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = \frac{{{x^3}}}{3} + a{x^2} + 4x + 3$
+ Nếu -2 < a < 2 thì y' > 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.
+ Nếu a = 2 thì y' = (x + 2)$^2$ , ta có : y' = 0 <=>x = -2, y' > 0, x ≠ -2 . Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; -2] và [-2; + ∞)nên hàm số y đồng biến trên R.
+ Tương tự nếu a = -2 . Hàm số y đồng biến trên R.
+ Nếu a < -2 hoặc a > 2 thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giả sử x1 < x2. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x1; x2 ),đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞;x1)và (x2; + ∞). Do đó a < -2 hoặc a > 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán .
Vậy hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi —2 ≤ a ≤ 2 .
Ví dụ 6: Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = \frac{1}{3}\left( {{a^2} - 1} \right){x^3} + \left( {a + 1} \right){x^2} + 3x + 5$
Ta có : y ' = (a$^2$ -1)x$^2$ + 2(a + 1)x + 3 và có ∆' = 2( - a$^2$ + a + 2)
Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi <=> y' ≥ 0, ∀x ∈ R (1)
+ Xét a$^2$ -1 = 0 <=> a = ±1
* Bảng xét dấu ∆'
Phương pháp
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.- Nếu $f'(x) \ge 0,\,\,\forall x \in K$ thì f(x) đồng biến trên K.
- Nếu $f'(x) \le 0,\,\,\forall x \in K$ thì f(x) nghịch biến trên K.
- $f(x) \ge 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.$
- $f(x) \le 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.$
- Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m).
- Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K$ \Leftrightarrow f'(x,m) \ge 0,\,\,\forall x \in K \Leftrightarrow m \ge g(x),\forall x \in K\,\,\left( {m \le g(x)} \right)$
- Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
- Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng trên R thì $f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$.
- Nếu hàm số f (x) đơn điệu giảm trên R thì $f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$
Hướng dẫn
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{mx + 3 - 2m}}{{x + m}}$Giải
- Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; —m) ∪ (—m; +∞)
- Ta có $y' = \frac{{{m^2} + 2m - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},x \ne - m$
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Nếu —3 < m < 1 thì y' < 0 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (—∞; —m), (—m; + ∞) .
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{ - 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - 3m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + m + \frac{{1 - 2m}}{{x - 1}}$
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; 1) ∪ (1; +∞) .
- Ta có: $y' = - 2 + \frac{{2m - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1$
+ m > 0,5 khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1 < 1 < x2 => hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1; 1) và (1; x2), trường hợp này không thỏa .
Vậy $m \leqslant \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2m + 1} \right) - 3m + 2$
Giải:
- Hàm số đã cho xác định trên R.
- Ta có : $y' = - {x^2} + 4x + 2m + 1$ và ∆’ = 2m + 5
+ m = - 2,5 thì y' = - (x - 2)$^2$ < 0 với mọi x ∈ R và y' = 0 chỉ tại điểm x = 2
Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m <- 2,5 thì y' < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > - 2,5 thì y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1;x2). Trường hợp này không thỏa mãn.
Ví dụ 4: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = \frac{{\left( {m + 2} \right)}}{3}{x^3} - \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {m - 8} \right)x + {m^2} - 1$
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên R.
- Ta có y' = (m + 2)x$^2$ - 2(m + 2)x + m - 8 .
+ m ≠ -2 tam thức y' = (m + 2)x$^2$ - 2(m + 2)x + m - 8 có ∆' = 10(m + 2)
Bảng xét dấu ∆’
+ m < -2 thì y' < 0 với mọi x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > -2 thì y' = 0 có hai nghiệm x1,x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1; x2) . Trường hợp này không thỏa mãn .
Vậy m ≤ -2 là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 5 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = \frac{{{x^3}}}{3} + a{x^2} + 4x + 3$
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên R.
- Ta có y ' = x$^2$ + 2ax + 4 và có ∆' = a$^2$ - 4
+ Nếu -2 < a < 2 thì y' > 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.
+ Nếu a = 2 thì y' = (x + 2)$^2$ , ta có : y' = 0 <=>x = -2, y' > 0, x ≠ -2 . Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; -2] và [-2; + ∞)nên hàm số y đồng biến trên R.
+ Tương tự nếu a = -2 . Hàm số y đồng biến trên R.
+ Nếu a < -2 hoặc a > 2 thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giả sử x1 < x2. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x1; x2 ),đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞;x1)và (x2; + ∞). Do đó a < -2 hoặc a > 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán .
Vậy hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi —2 ≤ a ≤ 2 .
Ví dụ 6: Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = \frac{1}{3}\left( {{a^2} - 1} \right){x^3} + \left( {a + 1} \right){x^2} + 3x + 5$
Giải
Hàm số đã cho xác định trên R.Ta có : y ' = (a$^2$ -1)x$^2$ + 2(a + 1)x + 3 và có ∆' = 2( - a$^2$ + a + 2)
Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi <=> y' ≥ 0, ∀x ∈ R (1)
+ Xét a$^2$ -1 = 0 <=> a = ±1
- a = 1 => y' = 4x + 3=> y' ≥ 0 <=> x ≥ - 4/3 => a = 1 không thoả yêu cầu bài toán.
- a = 1 => y' = 3> 0 ∀ x ∈ R => a = - 1 thoả yêu cầu bài toán.
* Bảng xét dấu ∆'
- Nếu a < —1 V a > 2 thì y' > 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.
- Nếu a = 2 thì y' = 3 (x + 1)$^2$ , ta có : y' = 0 <=> x = —1, y' > 0, x ≠ —1. Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; —1] và [ - 1; + ∞) nên hàm số y đồng biến trên R.
- Nếu —1 < a < 2, a ≠ 1 thì y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giả sử x1 < x2. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x1; x2 ) ,đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞; x1) và (x2; + ∞) . Do đó —1 < a < 2, a ≠ 1 không thoả mãn yêu cầu bài toán .
Chú ý:
Phương pháp:
$y' \geqslant 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ c \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$y' \leqslant 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ c \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
2) Hàm đồng biến trên R thì nó phải xác định trên R .
Phương pháp:
- Hàm số y = f (x, m) tăng trên R <=> y' > 0 ∀ x ∈ R <=>min y' ≥ 0.
- Hàm số y = f (x, m) giảm trên R<=>y' < 0 ∀x ∈ R max y' ≤ 0.
$y' \geqslant 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ c \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$y' \leqslant 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ c \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
2) Hàm đồng biến trên R thì nó phải xác định trên R .
Bài tập tự luyện
- Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{x - {m^2} + 7m - 11}}{{x - 1}}\)
- Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 2m - 3}}{{x + 3m}}\)
- Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\)
- Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m - 1}}{{x - 3}}\)
- Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = x + 2 + \frac{m}{{x - 1}}\)
- Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - {m^2}x + 1\)
- Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m - 1} \right)x - 3 - \frac{{m + 4}}{{x + 1}}\)
- Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{m{x^4}}}{4} - {m^2}{x^2} + m - 1\)
- Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{m}{2}{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x - 1\)
- Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3\)
- Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m + 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m -1 } \right){x^2} + 4x - 1\)
- Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m - 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {2m - 3} \right){x^2} + \left( {5m - 6} \right)x + 2\)
Sửa lần cuối: