Toán 12 Tìm m để bất phương trình \(1 + {\log _5}({x^2} + 1) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\)

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Tìm m để bất phương trình \(1 + {\log _5}({x^2} + 1) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\)thỏa mãn với mọi \(x\in \mathbb{R}.\)
A. \(- 1 < m \le 0\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(2 < m \le 3\)
D. \(2 < m < 3\)

Phương nghiệm đúng với \(\forall x \in\mathbb{R}\) nên
\(m{x^2} + 4x + m > 0\;(\forall x \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\Delta ' = 4 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow m \in (2; + \infty )\)
Khi đó \(\log 5 + \log ({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow \log 5({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow 5({x^2} + 1) \ge m{x^2} + 4x + m\;(\forall x \in ) \Leftrightarrow (5 - m){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0\;(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - m > 0}\\ {\Delta = 4 - {{(5 - m)}^2} \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3\)
Vậy \(2 < m \le 3\) thỏa yêu cầu của đề bài.