Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Học Lớp · 6/6/18

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
Khi tìm $\lim \frac{{f( n )}}{{g( n )}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f( n )}} - \sqrt[m]{{g( n )}}} \right]$ trong đó $\lim f( n ) = \lim g( n ) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = a - b\\
\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b
\end{array}$
Dùng định lí kẹp: Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$,∀ n và lim v$_n$ = 0 thì lim u$_n$ = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Vận dụng
Câu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}$ và $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < \frac{1}{2}$. Chọn giá trị đúng của $\lim {u_n}$ trong các số sau:
A. 1/4.
B. 1/2.
C. 0.
D. 1.

Chọn C
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có $n \le {2^n},\forall n \in \mathbb{N}$
Nên ta có : $n \le {2^n} \Leftrightarrow \frac{n}{{{2^n}}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{n}{{{2^n}{{.2}^n}}} \le \frac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow \frac{n}{{{4^n}}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$
Suy ra : $0 < {u_n} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$, mà $\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0$.

Câu 2. Kết quả đúng của $\lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right)$ là:
A. 4.
B. 5.
C. –4.
D. 1/4.

Chọn B
$ - \frac{n}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{n}{{{n^2} + 1}}$
Ta có $\lim - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = \lim - \frac{1}{n}.\frac{1}{{1 + 1/{n^2}}} = 0$;$\lim - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = 0$ $ \Rightarrow $
$ \Rightarrow \lim \left( {\frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 0 \Rightarrow \lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 5$.

Câu 3. Giá trị của. $A = \lim \frac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2/3
D. 1

Chọn C

Câu 4. Giá trị của. $B = \lim \frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{(3n - 1)}^2}}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 4/9
D. 1

Chọn C

Câu 5. Kết quả đúng của $\lim \frac{{ - {n^2} + 2n + 1}}{{\sqrt {3{n^4} + 2} }}$ là
A. $ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. - 2/3.
C. - 1/2.
D. 1/2.

Chọn A
$\lim \frac{{ - {n^2} + 2n + 1}}{{\sqrt {3{n^4} + 2} }} = \lim \frac{{\left( { - 1 + 2/n + 1/{n^2}} \right)}}{{\sqrt {3 + 2/{n^2}} }} = \frac{{ - 1 + 0 + 0}}{{\sqrt {3 + 0} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Câu 6. Giới hạn dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{3n - {n^4}}}{{4n - 5}}$ là:
A. - ∞.
B. + ∞.
C. 3/4.
D. 0.

Chọn A
$\lim {u_n} = \lim \frac{{3n - {n^4}}}{{4n - 5}} = \lim {n^3}\frac{{3/{n^3} - 1}}{{4 - 5/n}} = - \infty $.
Vì $\lim {n^3} = + \infty ;\lim \frac{{3/{n^3} - 1}}{{4 - 5/n}} = - \frac{1}{4}$.

Câu 7. Chọn kết quả đúng của $\lim \frac{{\sqrt {{n^3} - 2n + 5} }}{{3 + 5n}}$:
A. 5.
B. 2/5.
C. - ∞.
D. + ∞.

Chọn D
$\lim \frac{{\sqrt {{n^3} - 2n + 5} }}{{3 + 5n}} = \lim \sqrt n .\frac{{\sqrt {\left( {1 - 2/{n^2} + 5/{n^3}} \right)} }}{{3/n + 5}} = + \infty $.
Vì $\lim \sqrt n = + \infty ;\lim \frac{{\sqrt {\left( {1 - 2/{n^2} + 5/{n^3}} \right)} }}{{3/n + 5}} = \frac{1}{5}$.

Câu 8. Giá trị của $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 2/3
D. 1

Chọn C
Ta có: $A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}$.

Câu 9. Giá trị của $B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. $\frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}$

Chọn D
Ta có: $B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}$

Câu 10. Giá trị của $C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 16
D. 1

Chọn C
Ta có: $C = \lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}} = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}} = 16$

Câu 11. Giá trị của $D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}$
D. 1

Chọn C
Ta có: $D = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}$.

Câu 12. Giá trị của $C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn C
Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$ ta có được$C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{\frac{3}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^8}}}}} - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \frac{3}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} + \frac{1}{n}}} = 0$.

Câu 13. Giá trị của. $F = \lim \frac{{{{(n - 2)}^7}{{(2n + 1)}^3}}}{{{{({n^2} + 2)}^5}}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 8
D. 1

Chọn C
Ta có: $F = \lim \frac{{{{\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}^7}{{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}^5}}} = 8$

Câu 14. Giá trị của. $C = \lim \frac{{{n^3} + 1}}{{n{{(2n + 1)}^2}}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 1

Chọn C

Câu 15. Giá trị của. $D = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn C

Câu 16. Giá trị của. $E = \lim \frac{{\sqrt {{n^3} + 2n} + 1}}{{n + 2}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn A

Câu 17. Giá trị của. $F = \lim \frac{{\sqrt[4]{{{n^4} - 2n + 1}} + 2n}}{{\sqrt[3]{{3{n^3} + n}} - n}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{3}{{\sqrt[3]{3} - 1}}$
D. 1

Chọn C

Câu 18. Cho dãy số${u_n}$ với ${u_n} = \left( {n - 1} \right)\sqrt {\frac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} $. Chọn kết quả đúng của $\lim {u_n}$ là:
A.- ∞.
B.0 .
C.1 .
D.+ ∞.

Chọn B
Ta có: $\lim {u_n} = \lim \left( {n - 1} \right)\sqrt {\frac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} $
$ = \lim \sqrt {\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 2} \right)}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} $
$ = \lim \sqrt {\frac{{2{n^3} - 2{n^2} - 2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} $
`
$ = \lim \sqrt {\frac{{\frac{2}{n} - \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^4}}}}}} = 0.$

Câu 19. $\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }}$ bằng :
A.+ ∞.
B.$10$.
C.0.
D.- ∞.

Chọn C
Ta có: $\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }} = \lim \frac{{10}}{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} }}$
Nhưng $\lim \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} = 1$ và $\lim \frac{{10}}{{{n^2}}} = 0$
Nên $\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }} = 0.$

Câu 20. Tính giới hạn: $\lim \frac{{\sqrt {n + 1} - 4}}{{\sqrt {n + 1} + n}}$
A.1.
B.0.
C.- 1
D.1/2.

Chọn B
Ta có: $\lim \frac{{\sqrt {n + 1} - 4}}{{\sqrt {n + 1} + n}} = \lim \frac{{\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{4}{n}}}{{\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{0}{1} = 0$ .

Câu 21. Tính giới hạn:$\lim \frac{{1 + 3 + 5 + .... + \left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2} + 4}}$
A.0.
B.1/3.
C.2/3.
D.1.

Chọn B
Ta có: $\lim \frac{{1 + 3 + 5 + .... + \left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{1}{{3 + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}.$

Câu 22. Chọn kết quả đúng của $\lim \sqrt {3 + \frac{{{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} $.
A. 4.
B. 2.
C. 2.
D. 1/2.

Chọn C
$\lim \sqrt {3 + \frac{{{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} $$ = \lim \sqrt {3 + \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 1}} - \frac{1}{{{2^n}}}} $$ = \sqrt {3 + \frac{1}{1} - 0} = 2$

Câu 23. Giá trị của $D = \lim \frac{{{a_k}{n^k} + ... + {a_1}n + {a_0}}}{{{b_p}{n^p} + ... + {b_1}n + {b_0}}}$(Trong đó k,p là các số nguyên dương; ${a_k}{b_p} \ne 0$).
bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1

Chọn C
Ta xét ba trường hợp sau
k > p. Chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$ ta có:$D = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{\frac{{{b_p}}}{{{n^{p - k}}}} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty {\rm{ if }}{a_k}{b_p} > 0\\ - \infty {\rm{ if }}{a_k}{b_p} < 0\end{array} \right.$.
$k = p$. Chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$ ta có:$D = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_k} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \frac{{{a_k}}}{{{b_k}}}$.
k < p. Chia cả tử và mẫu cho ${n^p}$ : $D = \lim \frac{{\frac{{{a_k}}}{{{n^{p - k}}}} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0$.

Câu 24. Kết quả đúng của$\lim \frac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}}$ là:
A. - 5/2.
B. - 1/50.
C. 5/2.
D. - 25/2.

Chọn B
$\lim \frac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}} = \lim \frac{{\frac{2}{{{5^n}}} - \frac{1}{{25}}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 2.}} = \frac{{0 - \frac{1}{{25}}}}{{0 + 2}} = - \frac{1}{{50}}$.

Câu 25. $\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}$ bằng:
A. + ∞.
B. - ∞.
C. 0.
D. 1.

Chọn C
$\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n} - {{2.2}^n} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n}\left( {1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{{4^n}\left( {3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1} \right)}}$
$ = \lim {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n}\frac{{\left( {1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{\left( {3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1} \right)}} = 0$.

Câu 26. Giá trị của $C = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/3
D. 1

Chọn C
Ta có: $C = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}} = \lim \frac{{3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}} = - \frac{1}{3}$

Câu 27. Giá trị đúng của $\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right)$ là:
A. - ∞.
B. + ∞.
C. 2.
D. - 2.

Chọn B
$\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty $.
Vì $\lim {5^n} = + \infty ;\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1$.

Câu 28. Giá trị của. $K = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}$ bằng:
A. - 1/3
B. - ∞
C. 2
D. 1

Chọn A
$K = \lim \frac{{3{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{2{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}} = - \frac{1}{3}$

Câu 29. $\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}}$ bằng :
A.+ ∞.
B.1 .
C.0
D.- ∞.

Chọn A
Ta có: $\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}$
Nhưng $\lim \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 1 > 0$, $\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} = 0$ và ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}$
Nên $\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = + \infty $.

Câu 30. $\lim \sqrt[4]{{\frac{{{4^n} + {2^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^{n + 2}}}}}}$ bằng :
A.0 .
B.1/2.
C.1/4.
D.+ ∞.

Chọn B
Ta có: $\lim \sqrt[4]{{\frac{{{4^n} + {2^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^{n + 2}}}}}}$.$ = \lim \sqrt[4]{{\frac{{1 + {2^{1 - n}}}}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {4^2}}}}}$$ = \lim \sqrt[4]{{\frac{{1 + 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {4^2}}}}} = \frac{1}{2}$
Vì $\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0;\;\lim {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} = 0.$

Câu 31. Giá trị của. $C = \lim \sqrt {\frac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} $ bằng:
A. + ∞
B. 1/2
C. 0
D. 1

Chọn B

Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa $\left| a \right| < 1;\left| b \right| < 1$. Tìm giới hạn$I = \lim \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{{1 - b}}{{1 - a}}$
D. 1

Chọn C
Ta có $1,a,{a^2},...,{a^n}$ là một cấp số nhân công bội $a$$1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}$
Tương tự $1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}$
Suy ra lim$I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}$
( Vì $\left| a \right| < 1,\left| {b < 1} \right|$$ \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0$).

Câu 33. Tính giới hạn của dãy số $A = \lim \frac{{{a_k}.{n^k} + {a_{k - 1}}{n^{k - 1}} + ... + {a_1}n + {a_0}}}{{{b_p}.{n^p} + {b_{p - 1}}{n^{p - 1}} + ... + {b_1}n + {b_0}}}$ với ${a_k}{b_p} \ne 0$ . :
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1

Chọn C
Ta chia làm các trường hợp sau
TH 1: n = k, chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, ta được$A = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_p} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \frac{{{a_k}}}{{{b_p}}}$.
TH 2: k > p, chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, ta được$A = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{\frac{{{b_p}}}{{{n^{k - p}}}} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{{{n^{k - p + 1}}}} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty {\rm{ khi }}{a_k}{b_p} > 0\\ - \infty {\rm{ khi }}{a_k}{b_p} < 0\end{array} \right.$
TH 3: k < p, chia cả tử và mẫu cho ${n^p}$, ta được$A = \lim \frac{{\frac{{{a_k}}}{{{n^{p - k}}}} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{{{n^{p - k + 1}}}} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0$.

Câu 34. $\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right)$ bằng:
A. + ∞.
B. 0.
C. - 2.
D. - ∞.

Chọn C
$\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - \infty $
Vì $\lim {n^3} = + \infty ;\lim \left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2$
$\left| {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n}} \right| \le \frac{1}{n};\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2$.

Câu 35. Giá trị của. $M = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1

Chọn C
$M = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = 3$

Câu 36. Giá trị của. $H = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1

Chọn C
Ta có: $H = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}$

Câu 37. Giá trị của $B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn A
Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} - 1} \right) = + \infty $

Câu 38. Giá trị đúng của $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right)$ là:
A. + ∞.
B. - ∞.
C. 0.
D. 1.

Chọn B
$\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right) = \lim n\left( {\sqrt {1 - 1/{n^2}} - \sqrt {3 + 2/{n^2}} } \right) = - \infty $.
Vì $\lim n = + \infty ;\lim \left( {\sqrt {1 - 1/{n^2}} - \sqrt {3 + 2/{n^2}} } \right) = 1 - \sqrt 3 < 0$.

Câu 39. Giá trị của $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1

Chọn C
Ta có $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$
$ = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3$

Câu 40. Giá trị của $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 3

Chọn D
Ta có: $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)$
$ = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}$
$ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}} = 3$.

Câu 41. Giá trị của $D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1

Chọn C
Ta có: $D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)$
$ = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}$
$ = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}$.

Câu 42. Giá trị của. $M = \lim \left( {\sqrt[3]{{1 - {n^2} - 8{n^3}}} + 2n} \right)$ bằng:
A. - 1/12
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn A
Ta có: $M = \lim \frac{{1 - {n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{(1 - {n^2} - 8{n^3})}^2}}} - 2n\sqrt[3]{{1 - {n^2} - 8{n^3}}} + 4{n^2}}} = - \frac{1}{{12}}$

Câu 43. Giá trị của. $N = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn C
Ta có: $N = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - 2n} \right)$
Mà: $\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n} \right) = \lim \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}} = 0$
$\lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^2} + n}} - 2n} \right) = \lim \frac{n}{{\sqrt[3]{{{{(8{n^2} + n)}^2}}} + 2n\sqrt[3]{{8{n^2} + n}} + 4{n^2}}} = 0$
Vậy $N = 0$.

Câu 44. Giá trị của. $K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. $ - \frac{5}{{12}}$
D. 1

Chọn C
Ta có: $K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)$
Mà: $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = \frac{1}{3}$; $\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) = \frac{1}{4}$
Do đó: $K = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{{12}}$

Câu 45. Giá trị của. $N = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn D
$N = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 3{n^2} + 1)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} + {n^2}}} = 1$

Câu 46. Giá trị đúng của $\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} } \right)} \right]$ là:
A. - 1.
B. 0.
C. 1.
D. + ∞.

Chọn C
$\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} } \right)} \right] = \lim \left[ {\frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n + 1} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n - 1} }}} \right] = \lim \frac{{2\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + 1/n} + \sqrt {1 - 1/n} } \right)}} = 1$.

Câu 47. Giá trị của. $H = \lim n\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - \sqrt {4{n^2} + 3} } \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2/3
D. 1

Chọn C
$H = \lim n\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - 2n} \right) - \lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) = - \frac{2}{3}$

Câu 48. Giá trị của $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1

Chọn A
Ta có $A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = + \infty $
Do $\lim n = + \infty ;\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2$.

Câu 49. $\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}}$ bằng :
A.0.
B.1.
C.+ ∞.
D.- ∞.

Chọn D
Ta có: $\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}} = \lim n\sqrt[5]{{\frac{{200}}{{{n^5}}} - 3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}$
Nhưng $\lim \sqrt[5]{{\frac{{200}}{{{n^5}}} - 3 + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \sqrt[5]{{ - 3}} < 0$ và $\lim n = + \infty $
Nên $\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}} = - \infty $

Câu 50. Giá trị của. $A = \lim \frac{{2{n^3} + \sin 2n - 1}}{{{n^3} + 1}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1

Chọn C
$A = \lim \frac{{2 + \frac{{\sin 2n - 1}}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = 2$

Câu 51. Giá trị của. $B = {\rm{lim}}\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn C
Ta có: $\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} < \frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{{n^n}}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} = \frac{n}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} \to 0 \Rightarrow B = 0$

Câu 52. Giá trị của. $D = \lim \frac{{n + 1}}{{{n^2}(\sqrt {3{n^2} + 2} - \sqrt {3{n^2} - 1} )}}$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$
D. 1

Chọn C

Câu 53. Giá trị của. $E = \lim (\sqrt {{n^2} + n + 1} - 2n)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn B

Câu 54. Giá trị của. $F = \lim \left( {\sqrt {n + 1} + n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn A

Câu 55. Giá trị của. $H = \lim (\sqrt[k]{{{n^2} + 1}} - \sqrt[p]{{{n^2} - 1}})$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1

Chọn C
Xét các trường hợp
TH1: $k > p \Rightarrow H = - \infty $
TH 2: $k < p \Rightarrow H = + \infty $
TH 3: $k = p \Rightarrow H = 0$.

Câu 56. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}$ :
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1

Chọn D
Ta có: $\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}$
Suy ra ${u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = 1$

Câu 57. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \frac{{(n + 1)\sqrt {{1^3} + {2^3} + ... + {n^3}} }}{{3{n^3} + n + 2}}$ :
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{1}{9}$
D. 1

Chọn C
Ta có: ${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{3}} \right]^2}$
Suy ra ${u_n} = \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{{3(3{n^3} + n + 2)}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{9}$.

Câu 58. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = (1 - \frac{1}{{{T_1}}})(1 - \frac{1}{{{T_2}}})...(1 - \frac{1}{{{T_n}}})$ trong đó ${T_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}$. :
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1

Chọn C
Ta có: $1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}$
Suy ra ${u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}$.

Câu 59. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}....\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}}$. :
A. + ∞
B. - ∞
C. 2/3
D. 1

Chọn C
Ta có $\frac{{{k^3} - 1}}{{{k^3} + 1}} = \frac{{(k - 1)({k^2} + k + 1)}}{{(k + 1)[{{(k - 1)}^2} + (k - 1) + 1]}}$
Suy ra $ \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{3}.\frac{{{n^2} + n + 1}}{{(n - 1)n}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{2}{3}$

Câu 60. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} $. :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1

Chọn C
Ta có: ${u_n} - \frac{1}{2}{u_n} = \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) - \frac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}$
$ \Rightarrow \frac{1}{2}{u_n} = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 1}}{{{2^{n + 1}}}} \Rightarrow \lim {u_n} = 3$.

Câu 61. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}$ với $\left| q \right| < 1$ . :
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}$
D. $\frac{q}{{{{\left( {1 + q} \right)}^2}}}$

Chọn C
Ta có: ${u_n} - q{u_n} = q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}$
$ \Rightarrow (1 - q){u_n} = q\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}$. Suy ra $\lim {u_n} = \frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}$.

Câu 62. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{n}{{{n^2} + k}}} $ . :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1

Chọn D
Ta có: $n\frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le n\frac{n}{{{n^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{ - n}}{{{n^2} + 1}} \le {u_n} - 1 \le \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 1}}$
$ \Rightarrow \left| {{u_n} - 1} \right| \le \frac{n}{{{n^2} + 1}} \to 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 1$.

Câu 63. Tính giới hạn của dãy số $B = \lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^6} + n + 1}} - 4\sqrt {{n^4} + 2n - 1} }}{{{{(2n + 3)}^2}}}$ . :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. $\frac{{ - 3}}{4}$

Chọn D
Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$ ta có được:
$B = \lim \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^6}}}}} - 4\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^3}}} - \frac{1}{{{n^4}}}} }}{{{{\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}^2}}} = \frac{{1 - 4}}{4} = - \frac{3}{4}$.

Câu 64. Tính giới hạn của dãy số $C = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)$ . :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1/4

Chọn D
Ta có: $C = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2}} = \frac{1}{4}$

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số $D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - 2\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + n} \right)$ . :
A. + ∞
B. - ∞
C. $ - \frac{1}{6}$
D. 1

Chọn C
Ta có: $D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) - 2\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)$
Mà: $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}}$$ = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}$
$\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + {n^2} - 1)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}$$ = \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^4}}} - \frac{1}{{{n^6}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{3}$
Vậy $D = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}$.

Câu 66. Cho dãy số $({x_n})$ xác định bởi ${x_1} = \frac{1}{2},{x_{n + 1}} = x_n^2 + {x_n},{\mkern 1mu} \forall n \ge 1$
Đặt ${S_n} = \frac{1}{{{x_1} + 1}} + \frac{1}{{{x_2} + 1}} + \cdots + \frac{1}{{{x_n} + 1}}$. Tính $\lim {S_n}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1

Chọn C
Từ công thức truy hồi ta có: ${x_{n + 1}} > {x_n},{\rm{ }}\forall n = 1,2,...$
Nên dãy $({x_n})$ là dãy số tăng.
Giả sử dãy $({x_n})$ là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại $\lim {x_n} = x$
Với x là nghiệm của phương trình : $x = {x^2} + x \Leftrightarrow x = 0 < {x_1}$ vô lí
Do đó dãy $({x_n})$ không bị chặn, hay $\lim {x_n} = + \infty $.
Mặt khác: $\frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = \frac{1}{{{x_n}({x_n} + 1)}} = \frac{1}{{{x_n}}} - \frac{1}{{{x_n} + 1}}$
Suy ra: $\frac{1}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{{x_n}}} - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}}$
Dẫn tới: ${S_n} = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} \Rightarrow \lim {S_n} = 2 - \lim \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2$

Câu 67. Cho dãy $({x_k})$ được xác định như sau: ${x_k} = \frac{1}{{2!}} + \frac{2}{{3!}} + ... + \frac{k}{{(k + 1)!}}$
Tìm $\lim {u_n}$ với ${u_n} = \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. $1 - \frac{1}{{2012!}}$
D. $1 + \frac{1}{{2012!}}$

Chọn C
Ta có: $\frac{k}{{(k + 1)!}} = \frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}$ nên ${x_k} = 1 - \frac{1}{{(k + 1)!}}$
Suy ra ${x_k} - {x_{k + 1}} = \frac{1}{{(k + 2)!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}} < 0 \Rightarrow {x_k} < {x_{k + 1}}$
Mà: ${x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}}$
Mặt khác: $\lim {x_{2011}} = \lim \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}$
Vậy $\lim {u_n} = 1 - \frac{1}{{2012!}}$.

Câu 68. Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = 2011\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{u_n^2}}\end{array} \right.$. Tìm $\lim \frac{{u_n^3}}{n}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1

Chọn C
Ta thấy ${u_n} > 0,{\rm{ }}\forall n$
Ta có: $u_{n + 1}^3 = u_n^3 + 3 + \frac{3}{{u_n^3}} + \frac{1}{{u_n^6}}$ (1)
Suy ra: $u_n^3 > u_{n - 1}^3 + 3 \Rightarrow u_n^3 > u_0^3 + 3n$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: $u_{n + 1}^3 < u_n^3 + 3 + \frac{1}{{u_0^3 + 3n}} + \frac{1}{{{{\left( {u_0^3 + 3n} \right)}^2}}} < u_n^3 + 3 + \frac{1}{{3n}} + \frac{1}{{9{n^2}}}$
Do đó: $u_n^3 < u_0^3 + 3n + \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} + \frac{1}{9}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} $ (3)
Lại có: $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n} < 2$.$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} \le \sqrt n \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} } < \sqrt {2n} $
Nên: $u_0^3 + 3n < u_n^3 < u_0^3 + 3n + \frac{2}{9} + \frac{{\sqrt {2n} }}{3}$
Hay $3 + \frac{{u_0^3}}{n} < \frac{{u_n^3}}{n} < 3 + \frac{{u_0^3}}{n} + \frac{2}{{9n}} + \frac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt n }}$.
Vậy $\lim \frac{{u_n^3}}{n} = 3$.

Câu 69. Cho dãy $x > 0$ xác định như sau: $f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}$. Tìm $\left( {0; + \infty } \right)$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 2010
D. 1

Chọn C
Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2010}} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}} - {u_n}}}{{{u_{n + 1}}.{u_n}}} = \frac{{{u_n}}}{{2010{u_{n + 1}}}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2010.\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)$
Ta có $\sum {\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} = 2010(\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}) = 2010(1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}})$
Mặt khác ta chứng minh được: $\lim {u_n} = + \infty $.
Nên $\lim (\sum {\frac{{{u_u}}}{{{u_{n + 1}}}}} ) = 2010$.

Câu 70. Tìm $\lim {u_n}$ biết ${u_n} = \frac{{n.\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)} }}{{2{n^2} + 1}}$
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1

Chọn C
Ta có: $1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}$ nên $\lim {u_n} = \frac{1}{2}$

Câu 71. Tìm $\lim {u_n}$ biết $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\3m - 2{\rm{ khi }}x = 1\end{array} \right.$
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. $\frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt 2 }}$

Chọn D
Ta có: $1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$ và ${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$
Nên $\lim {u_n} = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt 2 }}$

Câu 72. Tìm $\lim {u_n}$ biết $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\2{x^2} + 3m + 1{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.$
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1

Chọn D
Ta có: $\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}$Suy ra ${u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = 1$

Câu 73. Tìm $\lim {u_n}$ biết $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4} + 3{\rm{ khi }}x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{ khi }}x < 2\end{array} \right.$ trong đó $x \ne 1$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1

Chọn C
Ta có: $1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}$Suy ra ${u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}$.

Câu 74. Tìm $\lim {u_n}$ biết ${u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} $
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1

Chọn D
Ta có: $\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }},{\rm{ }}k = 1,2,...,n$Suy ra $\frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < {u_n} < \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$
Mà $\lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} = \lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = 1$ nên suy ra $\lim {u_n} = 1$.

Câu 75. Tìm $\lim {u_n}$ biết ${u_n} = \underbrace {\sqrt {2\sqrt {2...\sqrt 2 } } }_{n{\rm{ dau can}}}$
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1

Chọn C
Ta có: ${u_n} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}}} = {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}$,nên $\lim {u_n} = \lim {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2$.

Câu 76. Gọi $g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2$ là dãy số xác định bởi . Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4} + 3} \right) = 3$.
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{4}{3}$
D. 1

Chọn C
Ta có $0 < {u_1} < {u_2} \Rightarrow {u_3} = - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}\sqrt {3{u_1}} < - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}\sqrt {3{u_2}} = {u_3}$ nên dãy $({u_n})$là dãy tăng.
Dễ dàng chứng minh được ${u_n} < \frac{4}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.Từ đó tính được $\lim {u_n} = \frac{4}{3}$.

Câu 77. Cho dãy số $A = {\left( {x_1^2 + \frac{1}{2}{x_1}{x_2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}{x_1}{x_2} + x_2^2} \right)^2} + \frac{1}{2}x_1^2x_2^2 + 3 > 0$ được xác định như sau$ \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}$.
Đặt $x \le \frac{3}{2}$. Tìm $ \Leftrightarrow {x^3} + 2x - 3\sqrt {3 - 2x} - 4 = 0$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1

Chọn C
Ta có: ${u_{n + 1}} = \sqrt {(u_n^2 + 3{u_n})(u_n^2 + 3{u_n} + 2) + 1} = \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n} + 1)}^2}} $
$ = u_n^2 + 3{u_n} + 1$
Suy ra: ${u_{n + 1}} + 1 = ({u_n} + 1)({u_n} + 2) \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_n} + 2}}$
Suy ra: $\frac{1}{{{u_n} + 2}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}$
Do đó, suy ra: ${v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{1}{{{u_i} + 1}} - \frac{1}{{{u_{i + 1}} + 1}}} \right)} = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}$
Mặt khác, từ ${u_{n + 1}} = u_n^2 + 3{u_n} + 1$ ta suy ra: ${u_{n + 1}} > {3^n}$.
Nên $\lim \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = 0$. Vậy $\lim {v_n} = \frac{1}{2}$.

Câu 78. Cho $a,b \in {\mathbb{N}^ \star },(a,b) = 1;n \in \left\{ {ab + 1,ab + 2,...} \right\}$. Kí hiệu ${r_n}$ là số cặp số $(u,v) \in {\mathbb{N}^ \star } \times {\mathbb{N}^ \star }$ sao cho $n = au + bv$. Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{r_n}}}{n} = \frac{1}{{ab}}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{1}{{ab}}$
D. $ab - 1$

Chọn C
Xét phương trình $\left[ {0;\frac{{n - 1}}{n}} \right]$ (1).
Gọi $({u_0},{v_0})$ là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử $(u,v)$ là một nghiệm nguyên dương khác $({u_0},{v_0})$ của (1).
Ta có $a{u_0} + b{v_0} = n,au + bv = n$ suy ra $a(u - {u_0}) + b(v - {v_0}) = 0$ do đó tồn tại $k$ nguyên dương sao cho $u = {u_0} + kb,v = {v_0} - ka$. Do v là số nguyên dương nên ${v_0} - ka \ge 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{{v_0} - 1}}{a}$. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số $k$ nguyên dương cộng với 1. Do đó ${r_n} = \left[ {\frac{{{v_0} - 1}}{a}} \right] + 1 = \left[ {\frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a}} \right] + 1$.
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: $\frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a} \le {r_n} \le \frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a} + 1.$
Từ đó suy ra : $\frac{1}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{{nb}} - \frac{1}{{na}} \le \frac{{{r_n}}}{n} \le \frac{1}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{{nb}} - \frac{1}{{na}} + \frac{1}{n}.$
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{r_n}}}{n} = \frac{1}{{ab}}$.

Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :$2\sqrt 2 $$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{{2 - {u_n}}},\;n \ge 1\end{array} \right.$. Tìm kết quả đúng của $\lim {u_n}$ .
A.0.
B.1.
C.- 1.
D.1/2

Chọn B
Ta có: ${u_1} = \frac{1}{2};\;{u_2} = \frac{2}{3};\;{u_3} = \frac{3}{4};\;{u_4} = \frac{4}{5};\;{u_5} = \frac{5}{6}.;...$
Dự đoán ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó $\lim {u_n} = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1$.

Câu 80. Tìm giá trị đúng của$S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right)$.
A.$\sqrt 2 + 1$ .
B. 2.
C. $2\sqrt 2 $.
D.1/2 .

Chọn C
Ta có: $S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right) = \sqrt 2 .\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\sqrt 2 $.

Câu 81. Tính giới hạn:$\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]$
A.0
B.1.
C.3/2.
D. Không có giới hạn.

Chọn B
Đặt :
$A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$ $ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$$ = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}$
$ \Rightarrow \lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1$

Câu 82. Tính giới hạn: $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right]$
A.1.
B.0.
C.2/3.
D.2.

Chọn B
Đặt
$\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + .... + \frac{2}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow A = \frac{n}{{2n + 1}}\end{array}$
Nên $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{2n + 1}} = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{2}.$

Câu 83. Tính giới hạn: $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]$
A. 3/4.
B.1.
C.0.
D.2/3.

Chọn A
Ta có : $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]$
$ = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)$$ = \lim \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{4}.$

Câu 84. Tính giới hạn: $\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right]$.
A. $\frac{{11}}{{18}}$.
B. 2.
C. 1.
D. 3/2.

Chọn A
Cách 1:
$\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right] = \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$
$ = \frac{{11}}{{18}} - \lim \left[ {\frac{{3{n^2} + 12n + 11}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}} \right] = \frac{{11}}{{18}}$.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\sum\limits_1^{100} {\frac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}} $ và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).

Câu 85. Tính giới hạn: $\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]$.
A. 1.
B. 1/2.
C. 1/4.
D. 3/2.

Chọn B
Cách 1:
$\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}...\frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n + 1}}{n}} \right]$$ = \lim \frac{1}{2}.\frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{2}$
Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\prod\limits_2^{100} {\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} $ và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).

Câu 86. Giá trị của $K = \lim n\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right)$ bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1

Chọn C

Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Học Lớp

Administrator

Chương 4: Giới hạn