Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + y = 2m + 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\(2)\end{array}\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\),
hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
a) \(P = {x^2} + 3{y^2}\) (1).
b) \(Q = {x^4} + {y^4}\) (2).
Lời giải:
Từ phương trình (2) ta suy ra: \(y = 2m + 1 - mx\).
Thay vào phương trình (1) ta được:
\(x + m\left( {2m + 1 - mx} \right) = 3 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right).x = 2{m^2} + m - 3\) (3).
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất,
điều đó xảy ra khi và chỉ khi: \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2{m^2} + m - 3}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = 2 + \frac{1}{{m + 1}}\\y = 2m + 1 - m.\frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = \frac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\).
a) Ta có: \(P = {x^2} + 3{\left( {x - 2} \right)^2} = 4{x^2} - 12x + 12 = {\left( {2x - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\)
\(P = 3\) khi \(x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4m + 6 = 3m + 3 \Leftrightarrow m = - 3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng 3.
b) Ta có: \[Q = {x^4} + {y^4} = {x^4} + {\left( {x - 2} \right)^4}\]
đặt \(t = x - 1\).
Khi đó \[Q = {\left( {t + 1} \right)^4} + {\left( {t - 1} \right)^4} = {t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1 + {t^4} - 4{t^3} + 6{t^2} - 4t + 1 = 2{t^4} + 12{t^2} + 2 \ge 2\]\(Q = 2 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2m + 3 = m + 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng 2.
Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\),
hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
a) \(P = {x^2} + 3{y^2}\) (1).
b) \(Q = {x^4} + {y^4}\) (2).
Lời giải:
Từ phương trình (2) ta suy ra: \(y = 2m + 1 - mx\).
Thay vào phương trình (1) ta được:
\(x + m\left( {2m + 1 - mx} \right) = 3 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right).x = 2{m^2} + m - 3\) (3).
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất,
điều đó xảy ra khi và chỉ khi: \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2{m^2} + m - 3}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = 2 + \frac{1}{{m + 1}}\\y = 2m + 1 - m.\frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = \frac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\).
a) Ta có: \(P = {x^2} + 3{\left( {x - 2} \right)^2} = 4{x^2} - 12x + 12 = {\left( {2x - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\)
\(P = 3\) khi \(x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4m + 6 = 3m + 3 \Leftrightarrow m = - 3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng 3.
b) Ta có: \[Q = {x^4} + {y^4} = {x^4} + {\left( {x - 2} \right)^4}\]
đặt \(t = x - 1\).
Khi đó \[Q = {\left( {t + 1} \right)^4} + {\left( {t - 1} \right)^4} = {t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1 + {t^4} - 4{t^3} + 6{t^2} - 4t + 1 = 2{t^4} + 12{t^2} + 2 \ge 2\]\(Q = 2 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2m + 3 = m + 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng 2.