Toán 12 Tích phân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa

Cho $f$ là hàm số liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.$ Giả sử $F$ là một nguyên hàm của $f$trên $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.$ Hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ của hàm số $f(x),$kí hiệu là $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$

2. Tính chất của tích phân
  • $\int\limits_{a}^{a}{f(x)dx=0}$
  • $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}}$
  • $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx+}\int\limits_{b}^{c}{f(x)dx=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}}$($a<b<c$ )
  • $\int\limits_{a}^{b}{k.f(x)dx=k.\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}}\text{ }(k\in \mathbb{R})$
  • $\int\limits_{a}^{b}{[f(x)\pm g(x)]dx=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\pm }\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$.

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
a) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{(1+x)}^{3}}}}$.
b) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{x+1}dx}$.
c) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2x+9}{x+3}dx}$.
d) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{4-{{x}^{2}}}dx}$.
Hướng dẫn giải
a) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{(1+x)}^{3}}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{d(1+x)}{{{(1+x)}^{3}}}}=-\left. \frac{1}{2{{(1+x)}^{2}}} \right|_{0}^{1}=\frac{3}{8}$.

b) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{x+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-\frac{1}{x+1} \right)dx}=\left( x-\ln (x+1) \right)\left| _{0}^{1} \right.=1-\ln 2$.

c) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2x+9}{x+3}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2+\frac{3}{x+3} \right)dx=\left. \left( 2x+3\ln (x+3) \right) \right|_{0}^{1}}=3+6\ln 2-3\ln 3$.

d) $\text{I}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{4-{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{d\left( 4-{{x}^{2}} \right)}{4-{{x}^{2}}}}=\left. \ln |4-{{x}^{2}}| \right|_{0}^{1}=\ln \frac{3}{4}$.

Ví dụ 2: Tính tích phân $I=\int\limits_{-2}^{2}{|x+1|dx}$.
Hướng dẫn giải
Nhận xét: $\left| x+1 \right|=\left\{ \begin{align}
& x+1,\text{ }-1\le x\le 2\text{ } \\
& -x-1,\text{ }-2\le x<-1\text{ } \\
\end{align} \right..$
Do đó
$\begin{align} & I=\int\limits_{-2}^{2}{|x+1|dx}=\int\limits_{-2}^{-1}{|x+1|dx}+\int\limits_{-1}^{2}{|x+1|dx} \\ & =-\int\limits_{-2}^{-1}{\left( x+1 \right)dx}+\int\limits_{-1}^{2}{\left( x+1 \right)dx} \\ & =-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right) \right|_{-2}^{-1}+\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right) \right|_{-1}^{2}=5. \\ \end{align}$

Ví dụ 3: Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x\cos xdx}$.
Hướng dẫn giải
Đặt$u=\sin x.$ Ta có $du=\cos xdx.$ Đổi cận: $x=0\Rightarrow u(0)=0;x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u\left( \frac{\pi }{2} \right)=1.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x\cos xdx}=\int\limits_{0}^{1}{{{u}^{2}}du}=\frac{1}{3}{{u}^{3}}\left| \begin{align}
& 1 \\
& 0 \\
\end{align} \right.=\frac{1}{3}.$

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) $I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$.
b) $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}$.
Hướng dẫn giải
a) Đặt $x=\sin t$ ta có $dx=\cos tdt.$ Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|\cos t|}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cost}dt=\sin t|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=1.$
b) Đặt $x=\tan t,$ ta có $dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$. Đổi cận: $\left\{ \begin{align}
& x=0\to t=0 \\
& x=1\to t=\frac{\pi }{4} \\
\end{align} \right.$.
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{dt}=t|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}.$

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau :
a) $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\sin xdx.}$
b) $I=\int\limits_{0}^{e-1}{x\ln (x+1)dx}$.
Hướng dẫn giải
a) Đặt $\left\{ \begin{align}
& u=x \\
& dv=\sin xdx \\
\end{align} \right.$ ta có $\left\{ \begin{align}
& du=dx \\
& v=-\cos x \\
\end{align} \right.$.
Do đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\sin xdx}=\left( -x\cos x \right)|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xdx}=0+\sin x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}\text{ }=\text{1}\text{.}$

b) Đặt $\left\{ \begin{align}
& u=\ln (x+1) \\
& dv=xdx \\
\end{align} \right.$ ta có $\left\{ \begin{align}
& du=\frac{1}{x+1}dx \\
& v=\frac{{{x}^{2}}-1}{2} \\
\end{align} \right.$
$\begin{align} & I=\int\limits_{0}^{e-1}{x\ln (x+1)dx}=\left. \left[ \ln (x+1)\frac{{{x}^{2}}-1}{2} \right] \right|_{0}^{e-1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{e-1}{(x-1)dx} \\ & =\frac{{{e}^{2}}-2e+2}{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x \right)\left| _{0}^{e-1} \right. \\ & =\frac{{{e}^{2}}-2e+2}{2}-\frac{1}{2}\frac{{{e}^{2}}-4e+3}{2}=\frac{{{e}^{2}}+1}{4}. \end{align}$
 
Sửa lần cuối: