Toán 12 Tích phân sử dụng công thức gọn

Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$, $f\left( 1 \right)=1$ và $f\left( 2 \right)=2$. Tính $I=\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}$
A. $I=1$.
B. $I=-1$.
C. $I=3$.
D. $I=\frac{7}{2}$.
Chọn A.
$I=\int\limits_{1}^{2}{{f}'(x)\text{d}x}=\left. f(x) \right|_{1}^{2}=f(2)-f(1)=2-1=1$.

Câu 2. Cho $\int\limits_{-2}^{2}{f(x)\text{d}x}=1$, $\int\limits_{-2}^{4}{f(t)\text{d}t=-4}$. Tính $I=\int\limits_{2}^{4}{f( y )\text{d}y}.$
A. $I=-5.$
B. $I=-3.$
C. $I=3.$
D. $I=5.$
Chọn A.
$I=\int\limits_{2}^{4}{f( y )\text{d}y}=\int\limits_{-2}^{4}{f( y )\text{d}y-}\int\limits_{-2}^{2}{f( y )\text{d}y}=\int\limits_{-2}^{4}{f(t)\text{d}t-}\int\limits_{-2}^{2}{f(x)\text{d}x}=-5$

Câu 3. Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)={{4}^{x}}{{.2}^{2x+3}}$
A. $F\left( x \right)=\frac{{{2}^{4\text{x}+1}}}{\ln 2}.$
B. $F\left( x \right)={{2}^{4\text{x}+3}}.\ln 2.$
C. $F(x)=\frac{{{2}^{4x+3}}}{\ln 2}.$
D. $F(x)={{2}^{4x+1}}.\ln 2$
Chọn A.
Ta có $\int{f\left( x \right)dx}=\int{{{4}^{x}}{{.2}^{2x+3}}\text{d}x}=\int{{{2}^{4x+3}}}\text{d}x=\frac{{{2}^{4x+3}}}{4\ln 2}+C=\frac{{{2}^{4x+1}}}{\ln 2}+C.$

Câu 4. Cho $f(x),g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 2;6 \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx=3};\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=7;\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx=5}$. Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
A. $\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3g(x)-f(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=8}$
B. $\int\limits_{2}^{3}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3f(x)-4\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=5}$
C. $\int\limits_{2}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=16}$
D. $\int\limits_{3}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }4f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=16}$
$\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx+}\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx=10}$
Ta có: $\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3g(x)-f(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=3\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx}-\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=15-7=8}$ nên $A$ đúng
$\int\limits_{2}^{3}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3f(x)-4\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=3\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx}-4\int\limits_{2}^{3}{dx}=9-4=5}$
nên $B$ đúng
$\begin{align}
& \int\limits_{2}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=\int\limits_{2}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx} \\
& =2\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}-1\int\limits_{2}^{6}{dx}=20-4=16 \\
\end{align}$
nên $C$ đúng
$\begin{align}
& \int\limits_{3}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 4}f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 4}f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx} \\
& =4\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}-2\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx}=28-10=18 \\
\end{align}$
Nên $D$ sai
Chọn đáp án $D$

Câu 5. Giả sử $\int{{{e}^{2x}}}(2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x+4)dx=(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{2x}}+C$ . Khi đó a+b+c+d bằng
A. -2
B. 3
C. 2
D. 5
Chọn B.
Ta có $\int{{{e}^{2x}}}(2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x+4)dx=(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{2x}}+C$ nên $\begin{align}
& \left( (a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d){{e}^{2x}}+C \right)' \\
& =(3a{{x}^{2}}+2bx+c){{e}^{2x}}+2{{e}^{2x}}(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d) \\
& =\left( 2a{{x}^{3}}+(3a+2b){{x}^{2}}+(2b+2c)x+c+2d \right){{e}^{2x}} \\
& =(2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x+4){{e}^{2x}}
\end{align}$
Do đó $\left\{ \begin{array}{l} 2a = 2\\ 3a + 2b = 5\\ 2b + 2c = - 2\\ c + 2d = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1\\ c = - 2\\ d = 3 \end{array} \right.$ . Vậy $a+b+c+d=3$.

Câu 6. Giả sử $\int\limits_{0}^{9}{f\left( x \right)\text{d}x}=37$ và $\int\limits_{9}^{0}{g\left( x \right)\text{d}x}=16$. Khi đó, $I=\int\limits_{0}^{9}{\left[ 2f\left( x \right)+3g(x) \right]\text{d}x}$bằng:
A. $I=122.$
B. $I=58.$
C. $I=143.$
D. $I=26.$
Chọn D.
$\begin{align}
& I=2\int\limits_{0}^{9}{f\left( x \right)\text{d}x}+3\int\limits_{0}^{9}{g(x)\text{d}x} \\
& =2\int\limits_{0}^{9}{f\left( x \right)\text{d}x}-3\int\limits_{9}^{0}{g(x)\text{d}x} \\
& =2.37-3.16=26 \\
\end{align}$.
$\begin{align}
& F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x} \\
& =\int{\sin \left( 1-2x \right)\text{d}x} \\
& =-\frac{1}{2}\left[ -\cos \left( 1-2x \right) \right]+C \\
& =\frac{1}{2}\cos \left( 1-2x \right)+C. \\
\end{align}$