Tìm phương trình của mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 3}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Tìm phương trình của mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\)
A. \(x + 3y + z - 8 = 0\)
B. \(x + 5y - 2z + 12 = 0\)
C. \(x - 5y + 2z - 12 = 0\)
D. \(x + 5y + 2z + 12 = 0\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Các VTCP của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;0;1} \right)\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Giải hệ phương trình của \({d_1}\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow \) vô nghiệm \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
Khi đó (P) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {u{_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm VTPT \( \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z + m = 0\)
\(A\left( {2;1;0} \right) \in {d_1};B\left( {2;3;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 3.1 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 + 3.3 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow m = - 8 \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z - 8 = 0\)