Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
A. PHƯƠNG PHÁP
Số phức là gì???
  • Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và $i^{2}= -1$
  • Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.
  • Tập hợp các số phức kí hiệu là C
Nhận xét:
  • Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0
  • Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo
  • Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
1. Định nghĩa.
Đơn vị ảo :
Số $i$ mà ${{i}^{2}}=-1$ được gọi là đơn vị ảo.
Số phức $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo của số phức $z$.
Tập số phức $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$. Tập số thực $\mathbb{R}$ là tập con của tập số phức $\mathbb{C}$.
Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
Đặc biệt:
  • Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z$ là số thực,
  • Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$ là số thuần ảo,
  • Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.
2. Môđun của số phức.
  • $\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ được gọi là môđun của số phức $z$.
  • Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
$\begin{align} & \left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0;\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}} \\ & \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right| \\ & \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\ \end{align}$

3. Số phức liên hợp.
  • Cho số phức $z=a+bi$. Ta gọi số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=a-bi$.
  • Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
$\begin{align}
& \overline{\overline{z}}=z;\left| \overline{z} \right|=\left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}\pm \overline{{{z}_{2}}} \\
& \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}} \\
\end{align}$
  • $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$
  • $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$
4. Phép toán trên tập số phức:
Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ và ${{z}_{2}}=c+di$ thì:
  • Phép cộng số phức: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$
  • Phép trừ số phức: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$
  • Mọi số phức $z=a+bi$ thì số đối của $z$ là $-z=-a-bi:z+\left( -z \right)=\left( -z \right)+z=0$
  • Phép nhân số phức: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( ab-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$
Chú ý
$\left\{ \begin{align}
& {{i}^{4k}}=1 \\
& {{i}^{4k+1}}=i \\
& {{i}^{4k+2}}=-1 \\
& {{i}^{4k+3}}=-i \\
\end{align} \right.$
Phép chia số phức:
* Số phức nghịch đảo của $z=a+bi\ne 0$: $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot \overline{z}$
* $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot i$ (với ${{z}_{2}}\ne 0$)


II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
Câu 1
. Trong $\mathbb{C}$, phương trình số phức ${{z}^{4}}-1=0$ có nghiệm là:
A $\pm 1\,;\,\pm 2i$
B. $\pm 2\,;\,\pm 2i$
C. $\pm 3\,;\,\pm 4i$
D. $\pm 1\,;\,\pm i$
Lời giải​
$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^4} - 1 = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 1}\\
{z = - 1}\\
{{z^2} + 1 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 1}\\
{z = - 1}\\
{z = \pm i}
\end{array}} \right.}
\end{array}$
Ta chọn đáp án A.

Câu 2. Trong $\mathbb{C}$, căn bậc hai của $-121$ là:
A. $-11i$
B. $11i$
C. $-11$
D. $11i$ và $-11i$
Lời giải​
$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^4} - 1 = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 1}\\
{z = - 1}\\
{{z^2} + 1 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 1}\\
{z = - 1}\\
{z = \pm i}
\end{array}} \right.}
\end{array}$
Ta có: $z=-121\Leftrightarrow z={{\left( 11i \right)}^{2}}$. Do đó z có hai căn bậc hai là $z=11i;\,z=-11i$
Ta chọn đáp án A.

Câu 3. Phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ có một nghiệm phức là $z=1+2i$. Tổng 2 số a và b bằng:
A.$0$
B. $-3$
C. 3
D. $-4$
Lời giải​
Vì $z=1+2i$ là một nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ nên ta có:
$\begin{align}
& {{\left( 1+2i \right)}^{2}}+a\left( 1+2i \right)+b=0 \\
& \Leftrightarrow a+b+2ai=3-4i \\
& \Leftrightarrow a+b=3 \\
\end{align}$
Ta chọn đáp án A.

Câu 4. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: ${{z}^{2}}+2z+2=0$
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số nghiệm.
Lời giải​
$\Delta '=b{{'}^{2}}-ac=1-2=-1<0$ nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực.
Ta chọn đáp án A.

Câu 5. Tìm các căn bậc hai của $-9$.
A. $\pm 3i$
B. 3
C. $3i$
D. $-3$
Lời giải​
Ta có $-9=9.{{i}^{2}}$ nên $-9$ có các căn bậc hai là 3i và -3i
Ta chọn đáp án A.

Câu 6. Phương trình $\left( 2+i \right){{z}^{2}}+az+b=0\,\left( a,b\in \mathbb{C} \right)$ có hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Khi đó $a=?$
A. -9-2i
B. 15+5i
C. 9+2i
D. 15-5i
Lời giải​
Theo Viet, ta có:
$\begin{align}
& S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\frac{a}{2+i}=4-i \\
& \Leftrightarrow a=\left( i-4 \right)\left( i+2 \right) \\
& \Leftrightarrow a=-9-2i \\
\end{align}$
Ta chọn đáp án A.

Câu 7. Với mọi số ảo z, số ${{z}^{2}}+|z{{|}^{2}}$ là:
A. Số thực âm
B. Số 0
C. Số thực dương
D. Số ảo khác 0
Lời giải​
Do z là số ảo nên z có dạng: $z=bi\,\left( b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: ${{z}^{2}}+|z{{|}^{2}}={{\left( bi \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=-{{b}^{2}}+{{b}^{2}}=0$.
Ta chọn đáp án A.

Câu 8. Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ và A, B là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A. $I\left( 1;1 \right)$
B. $I\left( -1;0 \right)$
C. $I\left( 0;1 \right)$
D. $I\left( 1;0 \right)$
Lời giải​
${{z}^{2}}-2z+5=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}+4=0\Leftrightarrow z=1\pm 2i$
$\Rightarrow A\left( 1;2 \right);\,B\left( 1;-2 \right)$
Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $I\left( 1;0 \right)$.
Ta chọn đáp án A.

Câu 9. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${{z}^{4}}-1=0$ trên tập số phức là bao nhiêu?
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Lời giải​
${{z}^{4}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& z=\pm 1 \\
& z=\pm i \\
\end{align} \right.$
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là $1-1=0$
Ta chọn đáp án A.


Câu 10. Trong $\mathbb{C}$, phương trình số phức $z+\frac{1}{z}=2i$ có nghiệm là:
A. $\left( 1\pm \sqrt{3} \right)i$
B. $\left( 5\pm \sqrt{2} \right)i$
C. $\left( 1\pm \sqrt{2} \right)i$
D. $\left( 2\pm \sqrt{5} \right)i$
Giải​
$\begin{array}{l}
z + \frac{1}{z} = 2i\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
z \ne 0\\
{z^2} - 2iz + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
z \ne 0\\
{\left( {z - i} \right)^2} + 2 = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
z \ne 0\\
z - i = \pm \sqrt 2 i
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
z \ne 0\\
z = \left( { \pm \sqrt 2 + 1} \right)i
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow z = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i
\end{array}$
Chọn A.
 
Sửa lần cuối: