Quy tắc đếm

Học Lớp · 3/7/18

Lý thuyết quy tắc đếm. Đóng vai trò quan trọng trong Đại số tổ hợp và trong nhiều ứng dụng.

I. PHƯƠNG PHÁP

1. Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m x n cách hoàn thành công việc.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Vấn đề 1. QUY TẮC CỘNG

Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?
A. 9.
B. 5.
C. 4.
D. 1.

* Nếu chọn cỡ áo 39 thì sẽ có 5 cách.
* Nếu chọn cỡ áo 40 thì sẽ có 4 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 5 + 4 = 9 cách chọn mua áo. Chọn A.

Câu 2. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:
A. 13.
B. 72.
C. 12.
D. 30.

* Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.
* Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.
* Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 4 + 6 + 3 = 13 cách chọn. Chọn A.

Câu 3. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là:
A. 480.
B. 24.
C. 48.
D. 60.

* Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có 8 cách.
* Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có 6 cách.
* Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có 10 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 8 + 6 + 10 = 24cách chọn. Chọn B.

Câu 4. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A. 45.
B. 280.
C. 325.
D. 605.

* Nếu chọn một học sinh nam có 280 cách.
* Nếu chọn một học sinh nữ có 325 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn. Chọn D.

Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12
B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?
A. 31.
B. 9.
C. 53.
D. 682.

* Nếu chọn một học sinh lớp 11A có 31 cách.
* Nếu chọn một học sinh lớp 12B có 22 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 31 + 22 = 53 cách chọn. Chọn C.

Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7,{\rm{ }}8,{\rm{ }}9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
A. 27.
B. 9.
C. 6.
D. 3.

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
* Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.
* Nếu chọn một quả đen có 3 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn. Chọn B.

Câu 7. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?
A. 20.
B. 300.
C. 18.
D. 15.

* Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.
* Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.
* Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.
* Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách chọn. Chọn A.

Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
A. 20.
B. 3360.
C. 31.
D. 30.

* Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách.
* Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách.
* Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách.
* Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 8 + 7 + 10 + 6 = 31 cách chọn. Chọn C.

Vấn đề 2. QUY TẮC NHÂN

Câu 9. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
A. 4.
B. 7.
C. 12.
D. 16.

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:
* Có 3 cách chọn mặt.
* Có 4 cách chọn dây.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 3 x 4 = 12 cách.

Câu 10. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ ''quần-áo-cà vạt'' khác nhau?
A. 13.
B. 72.
C. 12.
D. 30.

Để chọn một bộ ''quần-áo-cà vạt'', ta có:
* Có 4 cách chọn quần.
* Có 6 cách chọn áo.
* Có 3 cách chọn cà vạt.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 x 6 x 3 = 72 cách.

Câu 11. Một thùng trong đó có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là?
A. 13.
B. 12.
C. 18.
D. 216.

Để chọn một hộp màu đỏ và một hộp màu xanh, ta có:
* Có 12 cách chọn hộp màu đỏ.
* Có 18 cách chọn hộp màu xanh.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 12 x 18 = 216 cách. Chọn D.

Câu 12. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.
A. 24.
B. 48.
C. 480.
D. 60.

Để chọn ''một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập'', ta có:
* Có 8 cách chọn bút chì.
* Có 6 cách chọn bút bi.
* Có 10 cách chọn cuốn tập.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 8 x 6 x 10 = 480 cách. Chọn C.

Câu 13. Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu.
A. 240.
B. 210.
C. 18.
D. 120.

Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng- một bông hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có:
* Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.
* Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.
* Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 5 x 6 x 7 = 210 cách. Chọn B.

Câu 14. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn.
A. 25.
B. 75.
C. 100.
D. 15.

Để chọn thực đơn, ta có:
* Có 5 cách chọn món ăn.
* Có 5 cách chọn quả tráng miệng.
* Có 3 cách chọn nước uống.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 5 x 5 x 3 = 75 cách. Chọn B.

Câu 15. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A. 910000.
B. 91000.
C. 910.
D. 625.

Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
* Có 280 cách chọn học sinh nam.
* Có 325 cách chọn học sinh nữ.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 280 x 325 = 91000 cách. Chọn B.

Câu 16. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12,4 học sinh khối 11,3 học sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?
A. 12.
B. 220.
C. 60.
D. 3.

Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
* Có 5 cách chọn học sinh khối 12.
* Có 4 cách chọn học sinh khối 11.
* Có 3 cách chọn học sinh khối 10.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 5 x 4 x 3 = 60 cách. Chọn C.

Câu 17. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng?
A. 100.
B. 91.
C. 10.
D. 90.

Để chọn một người đàn ông và một người đàn bà không là vợ chồng, ta có
* Có 10 cách chọn người đàn ông.
* Có 9 cách chọn người đàn bà.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 9 x 10 = 90 cách. Chọn D.

Câu 18. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
A. 6.
B. 4.
C. 10.
D. 24.

* Từ An - > Bình có 4 cách.
* Từ Bình - > Cường có 6 cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 x 6 = 24 cách. Chọn D.

Câu 19. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
A. 9.
B. 10.
C. 18.
D. 24.

* Từ A - > B có 4 cách.
* Từ B - > C có 2 cách.
* Từ C - > D có 2 cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 x 2 x 3 = 24 cách. Chọn D.

Câu 20. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?
A. 1296.
B. 784.
C. 576.
D. 324.

Từ kết quả câu trên, ta có:
* Từ A - > D có 24 cách.
* Tương tự, từ D -> A có 24 cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 24 x 24 = 576 cách. Chọn C.

Câu 21. Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?
A. 3991680.
B. 12!.
C. 35831808.
D. 7!.

Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.
* Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.
* Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.
* Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.
* Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
* Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.
* Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.
* Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 3991680 cách. Chọn A.

Câu 22. Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau?
A. 624.
B. 48.
C. 600.
D. $\left( {a,b,c,d} \right)$ $\in A = \left\{ {$1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7$} \right\}$.

Một chiếc nhãn gồm phần đầu và phần thứ hai $\in \left\{ {1;2;...;25} \right\}$.
* Có 24 cách chọn phần đầu.
* Có 25 cách chọn phần thứ hai.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 24 x 25 = 600 cách. Chọn C.

Câu 23. Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập $\left\{ {1;2;...;9} \right\}$, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập $\left\{ {0;1;2;...;9} \right\}$. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
A. 2340000.
B. 234000.
C. 75.
D. 2600000.

Giả sử biển số xe là ${a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}.$
* Có 26 cách chọn ${a_1}$
* Có 9 cách chọn $1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6$
* Có 10 cách chọn ${a_3}$
* Có 10 cách chọn ${a_4}$
* Có 10 cách chọn ${a_5}$
* Có 10 cách chọn ${a_6}$
Vậy theo qui tắc nhân ta có 26 x 9 x 10 x 10 x 10 x 10 = 2340000 biển số xe. Chọn A.

Câu 24. Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?
A. 160.
B. 240.
C. 180.
D. 120.

Ta có 253125000 = ${2^3}{.3^4}{.5^8}$ nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng ${2^m} x {3^n} x {5^p}$ trong đó sao cho 0 $\le m \le 3;{\rm{ }}0 \le n \le 4;{\rm{ }}0 \le p \le 8$.
* Có 4 cách chọn m.
$\overline {abcd}$ Có 5 cách chọn n.
* Có 9 cách chọn p.
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 x 5 x 9 = 180 ước số tự nhiên. Chọn C.

Câu 25. Từ các chữ số $1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết phải khác nhau) ?
A. 324.
B. 256.
C. 248.
D. 124.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $\left( {a,b,c,d} \right)$ \in A = \left\{ {$1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7$} \right\}$.
Vì số cần tìm có 4 chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
• a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
• b được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
• c được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
• d được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
Như vậy, ta có 4 x 4 x 4 x 4 = 256 số cần tìm. Chọn B.

Câu 26. Từ các chữ số $1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau ?
A. 36.
B. 24.
C. 20.
D. 14.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $\left( {a,b,c,d} \right)$ \in A = $\left\{ {1,5,6,7} \right\}$.
Vì số cần tìm có 4 chữ số khác nhau nên:
* a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
* b được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ a \right\}$ (có 3 phần tử) nên có 3 cách chọn.
* c được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ {a,\,\,b} \right\}$ (có 2 phần tử) nên có 2 cách chọn.
* d được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ {a,\,\,b,\,\,c} \right\}$ (có 1 phần tử) nên có 1 cách chọn.
Như vậy, ta có 4 x 3 x 2 x 1 = 24 số cần tìm. Chọn B.

Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn ?
A. 99.
B. 50.
C. 20.
D. 10.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $\left( {a,\,\,b} \right)$ $\in A = \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}$ và a $\ne 0$.
Trong đó:
* a được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}$ (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.
* b được chọn từ tập A (có 5 phần tử) nên có 5 cách chọn.
Như vậy, ta có 4 x 5 = 20 số cần tìm. Chọn C.

Câu 28. Từ các chữ số $1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ?
A. 36.
B. 62.
C. 54.
D. 42.

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập A = $\left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}$. Từ tập A có thể lập được 6 số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline {ab}$ với $\left( {a,b} \right)$ \in$ A.
Trong đó:
* a được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.
* b được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.
Như vậy, ta có 6 x 6 = 36 số có hai chữ số.
Vậy, từ A có thể lập được 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100. Chọn D.

Câu 29. Từ các chữ số $0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5$ có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ?
A. 154.
B. 145.
C. 144.
D. 155.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $\left( {a,b,c,d} \right)$ $\in A = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}$.
Vì $\overline {abcd}$ là số lẻ $\Rightarrow \,\,d = \left\{ {1,3,5} \right\}$ $\Rightarrow \,\,d$: có 3 cách chọn.
Khi đó a: có 4 cách chọn (khác 0 và d), b: có 4 cách chọn và c: có 3 cách chọn.
Vậy có tất cả 3 x 4 x 4 x 3 = 144 số cần tìm. Chọn C.

Câu 30. Từ các chữ số $0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ?
A. 156.
B. 144.
C. 96.
D. 134.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $\left( {a,b,c,d} \right)$ $\in A = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}$.
Vì $\overline {abcd}$ là số chẵn $\Rightarrow \,\,d = \left\{ {0,2,4} \right\}$.
TH1. Nếu d = 0, số cần tìm là $\overline {abc0}$. Khi đó:
* a được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}$ nên có 5 cách chọn.
* b được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}$ nên có 4 cách chọn.
* c được chọn từ tập A${\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}$ nên có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có 5 x 4 x 3 = 60 số có dạng $\overline {abc0}$.
TH2. Nếu d = $\left\{ {2,4} \right\}$ $\Rightarrow \,\,d$: có 2 cách chọn.
Khi đó a: có 4 cách chọn (khác 0 và d), b: có 4 cách chọn và c: có 3 cách chọn.
Như vậy, ta có 2 x 4 x 4 x 3 = 96 số cần tìm như trên.
Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 số cần tìm. Chọn A.