Phương pháp quy nạp toán học

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:
a. 2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = $\frac{{n(3n + 1)}}{2}$. (1)
b. 13$^n$ - 1 chia hết cho 12.
Giải
a. Kí hiệu điều cần chứng minh là (*), ta giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
* Với n = 1, ta có 1$^3$ + 11 = 12 ⋮ 6.
Như vậy, (*) đúng với n = 1.
* Giả sử (*) đúng với n = k, tức là (k$^3$3 + 11k) ⋮ 6.
Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: (k + 1)$^3$ + 11(k + 1) = k$^3$ + 3k$^2$ + 3k + 1 + 11k + 11
= (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12
Vì (k$^3$ + 11k) ⋮ 6, 3k(k + 1) ⋮ 6 và 12 ⋮ 6 nên biểu thức trên chia hết cho 6.
Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
b. Ta lần lượt thực hiện:
* Với n = 1, ta có: 2 = $\frac{{1(3.1 + 1)}}{2}$ = 2, đúng.
Như vậy (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: 2 + 5 + 8 + ... + (3k – 1) = $\frac{{k(3k + 1)}}{2}$.
* Ta sẽ đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: 2 + 5 + 8 + ... + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1] = $\frac{{k(3k + 1)}}{2}$ + (3k + 2)= $\frac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}$ = $\frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}$ = $\frac{{(k + 1)(3k + 4)}}{2}$= $\frac{{(k + 1)[3(k + 1) + 1]}}{2}$, đpcm.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
* Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh đề.
Trong thực tế, ta còn gặp các bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A( n ) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n ≥ p, trong đó p là một số nguyên dương cho trước.
Trong trường hợp này, để giải quyết bài toán đặt ra bằng phương pháp quy nạp toán học, ở bước 1 ta cần chứng minh A( n ) là mệnh đề đúng khi n = p và ở bước 2, cần xét giả thiết quy nạp với k là số nguyên dương tuỳ ý lớn hơn hoặc bằng p.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 3$^n$n > 3n + 1.
Giải
Kí hiệu điều cần chứng minh là (1), ta lần lượt thực hiện:
* Với n = 2, ta có: 3$^2$ > 3.2 + 1 <=> 9 > 7, đúng.
Như vậy (1) đúng với n = 2.
* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: 3$^k$ > 3k + 1.
* Ta sẽ đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy:
3$^{k+1}$ = 3.3$^k$ > 3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k + 1) + 6k > 3(k + 1) + 1.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n ≥ 2.

Ví dụ 3: Cho tổng S$_n$ = $\frac{1}{{1.2}}$ + $\frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)}}$ với n ∈ \({\mathbb{N}^*}\).
a. Tính S$_1$1 , S$_2$ , S$_3$.
b. Dự đoán công thức tính tổng S$_n$ và chứng minh bằng quy nạp.
Giải
a. Ta lần lượt có:
S$_1$ = $\frac{1}{{1.2}}$ = 1 - $\frac{1}{2}$ = 1 - $\frac{1}{{1 + 1}}$,
S$_2$ = $\frac{1}{{1.2}}$ + $\frac{1}{{2.3}}$ = 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 1 - $\frac{1}{{2 + 1}}$,
S$_3$ = $\frac{3}{4}$ = 1 - $\frac{1}{{3 + 1}}$.
b. Dự đoán công thức tính tổng S$_n$ là:
S$_n$ = 1 - $\frac{1}{{n + 1}}$. (*)
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp. như sau:
* Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a).
* Giả sử (*) đúng với n = k, tức là:
S$_k$ = 1 - $\frac{1}{{k + 1}}$.
* Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy:
S$_{k+1}$ = S$_k$ + $\frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}}$ = 1 - $\frac{1}{{k + 1}}$ + $\frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}}$= 1 + $\frac{{1 - k - 2}}{{(k + 1)(k + 2)}}$= 1 - $\frac{1}{{(k + 1) + 1}}$, đpcm.
Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
* Nhận xét: Ví dụ trên đã minh hoạ một công việc rất hay gặp khi thực hiện các bài toán về dãy số, đó là "Đoán nhận công thức tổng quát của dãy số và chứng minh công thức đó".

Ví dụ 4. Chứng minh rằng $(1 + {2^2})(1 + {2^{{2^2}}})(1 + {2^{{2^3}}}) \times ... \times (1 + {2^{{2^n}}}) < \frac{1}{3}{.2^{{2^{n + 1}}}}$
Giải
Đặt: F$_n$ = $(1 + {2^2})(1 + {2^{{2^2}}})(1 + {2^{{2^3}}}) \times ... \times (1 + {2^{{2^n}}})$
Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng:
${F_n} = \frac{1}{3}({2^{{2^{n + 1}}}} - 1)$. (*)
Thật vậy:
* Với n = 1 thì:
${F_1} = 1 + {2^{{2^1}}} = 5 = \frac{1}{3}({2^{{2^2}}} - 1)$nên công thức đúng.
* Giả sử công thức đúng với n = k, tức là: ${F_k} = \frac{1}{3}({2^{{2^{k + 1}}}} - 1)$.
* Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, ta có:
${F_{k + 1}} = (1 + {2^{{2^{k + 1}}}}){F_k} = $$(1 + {2^{{2^{k + 1}}}}).\frac{1}{3}({2^{{2^{k + 1}}}} - 1) = \frac{1}{3}({2^{{2^{k + 2}}}} - 1)$.
Vậy, công thức (*) đúng với mọi n ∈ N*.
Từ đó, suy ra ta cần chứng minh: $\frac{1}{3}({2^{{2^{n + 1}}}} - 1) < \frac{1}{3}{.2^{{2^{n + 1}}}}$, điều này luôn đúng.
* Nhận xét:
1. Lời giải trên được xây dựng dựa trên việc dự đoán được đẳng thức cho Fn và chứng minh đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học theo 3 bước n = 1, n = k và n = k + 1.
2. Các em học sinh khác, sau khi tham khảo lời giải trên có thể thấy ngay rằng nếu không dự đoán được công thức cho Fn thì cũng có thể chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp một cách trực tiếp.

Ví dụ 5. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên n > 1 thì:
A$^n$b(a – b) + b$^n$nc(b – c) + c$^n$na(c – a) ≥ 0.
Giải
Chúng ta chứng minh bất đẳng thức ở đầu bài bằng phương pháp quy nạp toán học.
* Với n = 2, đặt: 2x = b + c – a > 0; 2y = a – b + c > 0; 2z = a + b – c > 0.
suy ra: a = y + z, b = z + x, c = x + y
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:Xy$^3$ + yz$^3$ + zx$^3$ – xyz(x + y + z) ≥ 0.
<=> xyz$\left[ {\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} - (x + y + z)} \right]$ ≥ 0 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương, ta có: y + $\frac{{{x^2}}}{y}$ ≥ 2$\sqrt {y\frac{{{x^2}}}{y}} $ = 2x.
Tương tự x + $\frac{{{z^2}}}{x}$ ≥ 2z và z + $\frac{{{y^2}}}{z}$ ≥ 2y.
Từ đó bất đẳng thức (*) được chứng minh, hay bất đẳng thức: a$^n$b(a – b) + b$^n$c(b – c) + c$^n$a(c – a) ≥ 0 được chứng minh.
* Giả sử bất đẳng thức đúng tới n. Không mất tính tổng quát, ta giả sử c ≤ b ≤ a. Theo giả thiết quy nạp, ta có:
b$^n$c(b – c) ≥ – a$^n$b(a – b) – c$^n$a(c – a)=> b$^{n+1}$c(b – c) ≥ – a$^n$b$^{2}$(a – b) – c$^n$ab(c – a)
Do đó: a$^{n+1}$b(a – b) + b$^{n+1}$c(b – c) + c$^{n+1}$a(c – a)≥ a$^{n+1}$b(a – b) – a$^{n}$b$^{2}$(a – b) – c$^{n}$ab(c – a) + c$^{n+1}$a(c – a) = a$^{n}$b(a – b)$^{2}$ + c$^{n}$a(c – a)(c – b) ≥ 0.
Vậy bất đẳng thức đúng với n + 1.
Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đã cho đúng với mọi n > 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c hay ΔABC đều.
Nguồn: Học Lớp
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook