7scv giới thiệu khái niệm Nhị thức Niu tơn cùng công thức và các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ Nhị thức Niu tơn .
- Quy ước: \({a^0} = {b^0} = 1\)
Cho \(k = 3\) ta được hệ số của \({x^3}\) là \(C_5^3{.2^{5 - 3}} = 40\)
- Sử dụng khai triển
\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
- Bằng cách thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.
Ví dụ 2: Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\)
Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các \(C_n^k\) nên cho \(a = 1,b = 1\) ta được:
\({\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{1^{n - k}}{1^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)\( = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)
Suy ra điều phải chứng minh.
1. Kiến thức cần nhớ
- công thức nhị thức niu tơn:- Quy ước: \({a^0} = {b^0} = 1\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hệ số của \({x^k}\) trong khai triển
Phương pháp chung:- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
- Tìm số hạng có chứa \({x^k}\) và tìm hệ số tương ứng.
Giải
Ta có: \({\left( {2 + x} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{2^{5 - k}}{x^k}} \)Cho \(k = 3\) ta được hệ số của \({x^3}\) là \(C_5^3{.2^{5 - 3}} = 40\)
Dạng 2: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.
Phương pháp chung:- Sử dụng khai triển
\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
- Bằng cách thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.
Ví dụ 2: Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\)
Giải
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các \(C_n^k\) nên cho \(a = 1,b = 1\) ta được:
\({\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{1^{n - k}}{1^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)\( = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)
Suy ra điều phải chứng minh.
Sửa lần cuối: