Toán 12 Nguyên hàm và phương pháp biến đổi số

Câu 1. Cho $f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+5 \right)$, biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $F\left( 0 \right)=6$. Tính $F\left( \frac{3}{4} \right)$.
A. $\frac{125}{16}$.
B. $\frac{126}{16}$.
C. $\frac{123}{16}$.
D. $\frac{127}{16}$.
Chọn A.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow t\text{d}t=x\text{d}x$.
$\int{f(x)\text{d}x}=\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+5 \right)}\text{d}x$$=\int{\left( 2t+5 \right)}\text{d}t\,={{t}^{2}}+5t+C$$=\left( {{x}^{2}}+1 \right)+5\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$.
$F(0)=6\Rightarrow C=0$.
Vậy $F\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{125}{16}$.

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$
A. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
B. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{1}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
C. $\int{f\left( x \right)dx}=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
D. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+C$
Đáp án C
$\int{x\sqrt{x}dx=\int{{{x}^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{2}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}}+C=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}}}+C$

Câu 3. Giả sử $\int{x{{\left( 1-x \right)}^{2017}}\text{d}x}=\frac{{{\left( 1-x \right)}^{a}}}{a}-\frac{{{\left( 1-x \right)}^{b}}}{b}+C$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Tính $2a-b$ bằng:
A.$2017$.
B.$2018$.
C.$2019$.
D.$2020$.
$\begin{array}{l}
\int {x{{\left( {1 - x} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} \\
= \int {\left( {x - 1 + 1} \right){{\left( {1 - x} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} \\
= \int {\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^{2017}} - {{\left( {1 - x} \right)}^{2018}}} \right){\rm{d}}x} \\
= - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}{{2019}} + C
\end{array}$
Vậy $a=2019,\,b=2018\Rightarrow 2a-b=2020$.
Chọn D.