Toán 12 Nguyên hàm hàm số lượng giác

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x$.
A. $2\cos 2x+C.$
B. $-2\cos 2x+C.$
C. $\frac{1}{2}\cos 2x+C.$
D. $-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$
Chọn D.
$\int{\sin 2x\text{d}x}=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\cos 2x$.
A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\sin 2x+C$.
B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{2}\sin 2x+C$.
C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=2\sin 2x+C$.
D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=-2\sin 2x+C$.
Chọn A.
Áp dụng công thức $\int{\cos (ax+b)\text{d}x}=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C$ với $a\ne 0$; thay $a=2$ và $b=0$ để có kết quả.

Câu 3. Trong các hàm số dưới đây hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin 2x$?
A. ${{F}_{1}}(x)=\frac{1}{2}\cos 2x.$
B. ${{F}_{4}}(x)={{\sin }^{2}}x+2$.
C. ${{F}_{2}}(x)=\frac{1}{2}({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x).$
D. ${{F}_{3}}(x)=-{{\cos }^{2}}x$.
Chọn A.
Ta có ${{\left[ {{F}_{1}}(x) \right]}^{\prime }}={{\left[ \frac{1}{2}\cos 2x \right]}^{\prime }}=-\sin 2x.$
${{\left[ {{F}_{2}}(x) \right]}^{\prime }}={{\left[ \frac{1}{2}({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x) \right]}^{\prime }}={{\left[ -\frac{1}{2}\text{cos2}x \right]}^{\prime }}=\sin 2x.$
${{\left[ {{F}_{3}}(x) \right]}^{\prime }}={{\left[ -{{\cos }^{2}}x \right]}^{\prime }}=-2\cos x.{{\left( \text{cos}x \right)}^{\prime }}=-2\cos x.\left( -\sin x \right)=2\sin x\cos x=\sin 2x.$
${{\left[ {{F}_{4}}(x) \right]}^{\prime }}={{\left[ {{\sin }^{2}}x+2 \right]}^{\prime }}=2\sin x.{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=2\sin x\cos x=\sin 2x.$

Câu 4. Biết rằng $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sin \left( 1-2x \right)$ và thỏa mãn $F\left( \frac{1}{2} \right)=1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $F\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos \left( 1-2x \right)+\frac{3}{2}.$
B. $F\left( x \right)=\cos \left( 1-2x \right).$
C. $F\left( x \right)=\cos \left( 1-2x \right)+1.$
D. $F\left( x \right)=\frac{1}{2}\cos \left( 1-2x \right)+\frac{1}{2}.$
Chọn D.
$\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\
= \int {\sin \left( {1 - 2x} \right){\rm{d}}x} \\
= - \frac{1}{2}\left[ { - \cos \left( {1 - 2x} \right)} \right] + C\\
= \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + C.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2.\frac{1}{2}} \right) + C = 1\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}cos\left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}.
\end{array}$