Toán 12 Nguyên hàm cơ bản và lời giải chi tiết

Bài tập nguyên hàm cơ bản kèm lời giải chi tiết sẽ giúp bạn học chương nguyên hàm hiệu quả hơn.

Câu 1. Tính $\int{(x-\sin 2x)dx}$
A. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\sin x+C$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\cos 2x+C$.
C. ${{x}^{2}}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.
Chọn D.
Ta có $\int{(x-\sin 2x)dx}=\int{xdx-\int{\sin 2xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$
A. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
B. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{1}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
C. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}x\sqrt{x}+C$
D. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+C$
- Phương pháp: Áp dụng các công thức $\int{{{x}^{\alpha }}dx}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C;\,\,\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}};\,\,{{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$
- Cách giải: $\int{x\sqrt{x}dx}=\int{{{x}^{\frac{3}{2}}}dx}=\frac{2}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}}+C=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$

Câu 3. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=f\left( x \right)+C$ với mọi hàm $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.
B. $\int{kf\left( x \right)\text{d}x}=k\int{f\left( x \right)\text{d}x}$ với mọi hằng số $k$ và với mọi hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
C. $\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int{f\left( x \right)\text{d}x}-\int{g\left( x \right)\text{d}x}$, với mọi hàm số $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
D. $\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int{f\left( x \right)\text{d}x}+\int{g\left( x \right)\text{d}x}$, với mọi hàm số $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$.
Chọn B.
Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và tính chất.

Câu 4. Với $a>0$ , cho các mệnh đề sau
$\left( i \right).\int{\frac{dx}{ax+1}=\frac{1}{a}\ln (ax+1)+C.}$ $\left( ii \right).\int{{{a}^{x+3}}dx=\frac{{{a}^{x+3}}}{\ln a}+C}$ $\left( iii \right).\int{{{(ax+b)}^{22}}dx=\frac{{{(ax+b)}^{23}}}{23}+C}$
Số các khẳng định sai là:
A. $1$
B. $2$
C.$3$
D.$0$
Ta thấy $\int{\frac{dx}{ax+1}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+1 \right|+C.}$ nên $(i)$ sai
$\left( \frac{{{a}^{x+3}}}{\ln a}+C \right)'=\frac{1}{\ln a}{{a}^{x+3}}.\ln a={{a}^{x+3}}$ nên $(ii)$ đúng
$\left( \frac{{{(ax+b)}^{23}}}{23}+C \right)'=a{{(ax+b)}^{22}}$ nên $(iii)$ sai
Do đó có 2 đáp án đúng
Chọn đáp án $B$

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\int{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+c.}$
B. $\int{{{2}^{x}}\text{d}x={{2}^{x}}+c.}$
C. $\int{\frac{\text{d}x}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{x}+c.$
D. $\int{\frac{\text{d}x}{x+1}}=\ln \left| x \right|+c.$
Chọn A.
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow x={{t}^{2}}\Rightarrow \text{d}x=2t\text{dt}\Rightarrow \int{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=\int{\frac{2t}{t}\text{dt}}=2t+C=2\sqrt{x}+C.}$

Câu 6. Hàm số $F\left( x \right)={{e}^{x}}-\cot x+C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nào?
A. $f\left( x \right)={{e}^{x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $
B. $f\left( x \right)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $
C. $f\left( x \right)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\cdot $
D. $f\left( x \right)={{e}^{-x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $
Chọn A.
Ta có $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( x \right)\Leftrightarrow {{\left( F\left( x \right) \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$.
Khi đó ${{\left( {{e}^{x}}-\cot x+C \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$.
.