Toán 12 Nguyên hàm cơ bản và lời giải chi tiết

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1. Tính $\int{(x-\sin 2x)dx}$
A. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\sin x+C$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\cos 2x+C$.
C. ${{x}^{2}}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có $\int{(x-\sin 2x)dx}=\int{xdx-\int{\sin 2xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}}+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$
A. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
B. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{1}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$
C. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{2}{5}x\sqrt{x}+C$
D. $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+C$
Hướng dẫn giải
- Phương pháp: Áp dụng các công thức $\int{{{x}^{\alpha }}dx}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C;\,\,\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}};\,\,{{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$
- Cách giải: $\int{x\sqrt{x}dx}=\int{{{x}^{\frac{3}{2}}}dx}=\frac{2}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}}+C=\frac{2}{5}{{x}^{2}}\sqrt{x}+C$

Câu 3. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=f\left( x \right)+C$ với mọi hàm $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.
B. $\int{kf\left( x \right)\text{d}x}=k\int{f\left( x \right)\text{d}x}$ với mọi hằng số $k$ và với mọi hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
C. $\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int{f\left( x \right)\text{d}x}-\int{g\left( x \right)\text{d}x}$, với mọi hàm số $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
D. $\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int{f\left( x \right)\text{d}x}+\int{g\left( x \right)\text{d}x}$, với mọi hàm số $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và tính chất.

Câu 4. Với $a>0$ , cho các mệnh đề sau
$\left( i \right).\int{\frac{dx}{ax+1}=\frac{1}{a}\ln (ax+1)+C.}$ $\left( ii \right).\int{{{a}^{x+3}}dx=\frac{{{a}^{x+3}}}{\ln a}+C}$ $\left( iii \right).\int{{{(ax+b)}^{22}}dx=\frac{{{(ax+b)}^{23}}}{23}+C}$
Số các khẳng định sai là:
A. $1$
B. $2$
C.$3$
D.$0$
Hướng dẫn giải
Ta thấy $\int{\frac{dx}{ax+1}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+1 \right|+C.}$ nên $(i)$ sai
$\left( \frac{{{a}^{x+3}}}{\ln a}+C \right)'=\frac{1}{\ln a}{{a}^{x+3}}.\ln a={{a}^{x+3}}$ nên $(ii)$ đúng
$\left( \frac{{{(ax+b)}^{23}}}{23}+C \right)'=a{{(ax+b)}^{22}}$ nên $(iii)$ sai
Do đó có 2 đáp án đúng
Chọn đáp án $B$

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\int{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+c.}$
B. $\int{{{2}^{x}}\text{d}x={{2}^{x}}+c.}$
C. $\int{\frac{\text{d}x}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{x}+c.$
D. $\int{\frac{\text{d}x}{x+1}}=\ln \left| x \right|+c.$
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow x={{t}^{2}}\Rightarrow \text{d}x=2t\text{dt}\Rightarrow \int{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=\int{\frac{2t}{t}\text{dt}}=2t+C=2\sqrt{x}+C.}$

Câu 6. Hàm số $F\left( x \right)={{e}^{x}}-\cot x+C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nào?
A. $f\left( x \right)={{e}^{x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $
B. $f\left( x \right)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $
C. $f\left( x \right)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\cdot $
D. $f\left( x \right)={{e}^{-x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\cdot $
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( x \right)\Leftrightarrow {{\left( F\left( x \right) \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$.
Khi đó ${{\left( {{e}^{x}}-\cot x+C \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$.
.