Đặt $t = \sqrt {2 + \log {u_1} - 2\log {u_{10}}} \ge 0 \Leftrightarrow \log {u_1} - 2\log {u_{10}} = {t^2} - 2,$ khi đó giả thiết trở thành:
..
$\begin{array}{l} \log {u_1} - 2\log {u_{10}} = - {\mkern 1mu} 1\\ \Leftrightarrow \log {u_1} + 1 = 2\log {u_{10}}\\ \Leftrightarrow \log \left( {10{u_1}} \right) = \log {\left( {{u_{10}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 10{u_1} = {\left( {{u_{10}}} \right)^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right). \end{array}$
Mà là cấp số nhân với công bội $q = 2 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {u_{10}} = {2^9}{u_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right).$
Từ (1), (2) suy ra
$\begin{array}{l} 10{u_1} = {\left( {{2^9}{u_1}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {2^{18}}u_1^2 = 10{u_1}\\ \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{10}}{{{2^{18}}}}\\ \Rightarrow {u_n} = {2^{n{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1}}.\frac{{10}}{{{2^{18}}}} = \frac{{{2^n}.10}}{{{2^{19}}}}. \end{array}$
Do đó
$\begin{array}{l}
{u_n} > {5^{100}} \Leftrightarrow \frac{{{2^n}.10}}{{{2^{19}}}} > {5^{100}}\\
\Leftrightarrow n > {\log _2}\left( {\frac{{{5^{100}}{{.2}^{19}}}}{{10}}} \right) = - {\mkern 1mu} {\log _2}10 + 100{\log _2}5 + 19{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \approx {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 247,87.
\end{array}$
Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 248
