Lý thuyết và bảng công thức đạo hàm đầy đủ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
“Thưa Thầy, rốt cuộc thì đạo hàm là gì? có bao nhiêu công thức đạo hàm? và bảng đạo hàm gồm những gì ạ?” Tôi cảm thấy hơi lúng túng bèn trả lời em học sinh đó một cách vô thưởng vô phạt: “À, trong tiếng hán thì Đạo có nghĩa là con đường, thế nên đạo hàm là khái niệm ám chỉ con đường vận động và biến đổi của hàm số…“. Do liên quan tới công thức toán học nên không thể nói được mà phải xem bài viết dưới đây!
bang-dao-ham-png.8132

1. Đạo hàm là gì?

a) Vấn đề đặt ra: Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật ... đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ (1)
Trong đó:
  • f(x) là một hàm số đã cho của đối số x.
  • Số gia đối số là Δx = x - x0.
  • Số gia tương ứng của hàm số là Δy = f(x) - f(x0).
Khi đó giới hạn (1) được viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

b) Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b).
Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại điểm x0, khi số gia đối số tiến sát đến 0 chính là đạo hàm của hàm y=f(x) tại x0.
Trong đó
  • hàm số y = f(x), xác định trên (a, b)
  • x0 ∈ (a, b)
  • Kí hiệu Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0: y'(x0) = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

2. Đạo hàm một bên

a) Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x0
  • kí hiệu là f '($x_0^ - $)
  • định nghĩa là $f'\left( {x_0^ - } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$
trong đó x → $x_0^ - $ được hiểu là x → x0 và nhỏ hơn x0.

b) Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0
  • kí hiệu là f '($x_0^ + $)
  • định nghĩa là $f'\left( {x_0^ + } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$
trong đó x → $x_0^ + $ được hiểu là x → x0 và lớn hơn x0.

Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f '($x_0^ - $) và f '($x_0^ + $) tồn tại và bằng nhau.
Khi đó, ta có: f '(x0) = f '($x_0^ - $) = f '($x_0^ + $).

3. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa
a. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
b. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a, b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a, b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b.
Quy ước: Từ nay khi ta nói hàm số y = f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học
Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M0 trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M0M là một cát tuyến của (C).
y-nghia-dao-ham-png.884
Định nghĩa: Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0. Điểm M0 được gọi là tiếp điểm.

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b), gọi (C) là đồ thị hàm số đó.
y-nghia-dao-ham_1-png.885
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0, f(x0)).

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0, f(x0)) là: y - y0 = f'(x0)(x - x0)

b) Ý nghĩa vật lí
Vận tốc tức thời:
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t0:
v(t0) = s'(t0) = f'(t0).​

Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:
  • Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm.
  • Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t0:
I(t0) = Q'(t0) = f'(t0)​

5. Các công thức đạo hàm

a) Quy tắc tính đạo hàm là hệ thống những quy tắc tổng quát bạn cần phải nhớ để sau này xây dựng tất cả mọi công thức đạo hàm từ cơ bản tới nâng cao.
  1. Quy tắc cộng, trừ: (u + v - w )' = u' + v' - w'
  2. Quy tắc hằng số: (ku)' = ku' trong đó k là hằng số
  3. Quy tắc nhân (u.v)' = u'v + uv'
  4. Quy tắc phân số $\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$
  5. $\left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}$
  6. Hàm hợp dạng y(u(x)) thì có quy tắc: [y(u(x))]' = [y(u)]'.[u(x)]'
Trên là những công thức tính đạo hàm đơn giản nhưng cần phải nhớ!

b) Bảng công thức đạo hàm là hệ thống đầy đủ các công thức đạo hàm cơ bản, lượng giác, hàm mũ... nhằm giúp người học ôn luyện nhanh, hiệu quả
Bảng đạo hàm cơ bản
bang-dao-ham-co-ban-png.8133

Bảng đạo hàm lượng giác
bang-dao-ham-luong-giac-png.8134

Bảng đạo hàm logarit
bang-dao-ham-logarit-png.8135

Bảng đạo hàm của hàm mũ
bang-dao-ham-mu-png.8136

Bảng đạo hàm của hàm lượng giác ngược
dao-ham-cua-ham-luong-giac-nguoc-png.8137

6. Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f '(x).
  • Đạo hàm của hàm số f '(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f ''(x).
  • Tương tự, đạo hàm của hàm số f ''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f '''(x).
  • Đạo hàm của hàm số f '''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f(x), kí hiệu là y'''' hay f(4)(x)...
  • Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp (n - 1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), kí hiệu là y$^{( n )}$ hay f$^{( n )}$(x): ${f^{( n )}}(x) = [{f^{(n - 1)}}(x)]'$, với n ∈ Z, n ≥ 2.
Ý nghĩa của đạo hàm cấp 2:
  • Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm.
  • Khi đó, gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số s = f(t) tại t: γ(t) = f "(t).

7. Bài tập đạo hàm

Hệ thống những bài tập từ căn bản tới nâng cao
Bài tập 1: Cho hàm số $f(x) = 2x - \frac{3}{2}{x^2}$. Tính đạo hàm của hàm hợp f(x)?
Giải​
Ta có: f’(x) = 2 – 3x

Bài tập 2: Tính Đạo hàm của hàm số chứa căn sau $f(x) = \sqrt {{x^2} - 5x} $?
Giải​
Ta có: $f'(x) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 5x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 5x} }} = \frac{{2x - 5}}{{2\sqrt {{x^2} - 5x} }}$

Bài tập 3: Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{{2{x^2} + x + 1}}$ bằng biểu thức nào sau đây?
Giải​
Ta có: $y' = \frac{{ - {{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{2{x^2} + x + 1}}$

Bài tập 4: Hãy tính đạo hàm của phân số sau $f(x) = \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}}$
Giải​
Ta có: $f(x) = \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{4}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$

Bài tập 5: Hãy tính đạo hàm ln của hàm y = ln(x4)?
Giải​
$y' = \left[ {\ln \left( {{x^4}} \right)} \right]' = \frac{{\left( {{x^4}} \right)'}}{{{x^4}}} = \frac{4}{x}$

Bài tập 6: Cho hàm số lượng giác $y = \sqrt {\cos x} $. Hãy tìm đạo hàm của hàm số này?
Giải​
$y' = {\left( {\sqrt {\cos x} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {\cos x} }} = \frac{{ - \sin x}}{{2\sqrt {\cos x} }}$
Bài tập 7: Cho hàm số lượng giác y = sin(2x). Hãy tìm đạo hàm?
Giải​
Ta có y' = [sin(2x)]' = (2x)'.cos(2x) = 2cos(2x)

Bài tập 8: Đạo hàm của hàm số y = tan(5x) bằng biểu thức nào sau đây?
Giải​
Áp dụng bảng đạo hàm lượng của hàm hợp: $y' = {\left( {\tan 5x} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {5x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}5x}} = \frac{5}{{{{\cos }^2}2x}}$

Bài tập 9: Cho hàm y = |x2 - 4x + 3|. Hãy tìm đạo hàm của trị tuyệt đối y'?
Giải​
Xét dấu : Ta có x2-4x+3> 0 khi và chỉ khi x ∈ ( - ∞; 1) ∪ ( 3; + ∞)
x2 - 4x + 3 < 0 khi và chỉ khi x ∈ (1; 3)
Vậy: $y'=\left\{\begin{matrix}2x-4\ neu\ x\in(-\infty;1)\cup (3;+\infty)\\4-2x\ neu\ x\in(1;3) \end{matrix}\right.$
(y' không xác định tại x=1 và x=3)

Bài tập 10: Bằng định nghĩa chứng minh công thức đạo hàm của hàm số y = arcsin(x)
Giải​
bang-dinh-nghia-chung-minh-cong-thuc-dao-ham-cua-ham-so-y-arcsin-x-png.8138


Bài tập 11: Hãy tính đạo hàm arctan của hàm số y = x2.arcsin(x)?
Giải​
Vận dụng bảng đạo hàm của hàm ngược ta có:
$\begin{array}{l} y' = \left[ {{x^2}.arctan\left( x \right)} \right]'\\ = \left( {{x^2}} \right)'.arctan\left( x \right) + {x^2}.\left[ {arctan\left( x \right)} \right]'\\ = 2x.arctan\left( x \right) + {x^2}.\frac{1}{{1 + {x^2}}} \end{array}$
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook